Para a função f definida por f(x) = {-raiz(2 - x), x < 1; a*x + b, 1 <= x < 2; |x^2 - 7*x + 12|, x >= 2}
(a) Determine os valores de a e b para que seja contínua em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de e na função definida por partes para que ela seja contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). Isso significa que não pode ter “saltos” ou interrupções na grafo da função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função pode ter problemas de continuidade. A função muda sua definição nos pontos onde as condições das partes mudam, ou seja, em e . Precisamos garantir que a função seja contínua nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto :
  • Lado esquerdo ( ): Aqui, a função é . Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
  • Lado direito ( ): Aqui, a função é . O valor da função em é:
Para que a função seja contínua em , esses dois valores devem ser iguais:
çã

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto :
  • Lado esquerdo ( ): Aqui, a função é . O valor da função em é:
  • Lado direito ( ): Aqui, a função é . Calculando:
Para continuidade em , temos:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora que temos , substituímos na Equação 1:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são e .

Exercícios relacionados

f(s) = raiz((s^2 + 1) / (s^2 + 4))
g(x) = (x^2 + 1)^3 (x^2 + 2)^6
Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim x 2 f(x) não existe
Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(b) lim x 2 f(x)=-3