Para a função definida por
(a) Determine os valores de a e b para que seja contínua em R
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de e na função definida por partes para que ela seja contínua em todo o conjunto dos números reais (). Isso significa que não pode ter “saltos” ou interrupções na grafo da função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função pode ter problemas de continuidade. A função muda sua definição nos pontos onde as condições das partes mudam, ou seja, em e . Precisamos garantir que a função seja contínua nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar analisando o ponto :
Lado esquerdo (): Aqui, a função é . Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Lado direito (): Aqui, a função é . O valor da função em é:
Para que a função seja contínua em , esses dois valores devem ser iguais:
çã
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto :
Lado esquerdo (): Aqui, a função é . O valor da função em é:
Lado direito (): Aqui, a função é . Calculando:
Para continuidade em , temos:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora que temos , substituímos na Equação 1:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em são e .