Se para todo e , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(b)
Passo 1
Então, a gente tem uma função que é maior que zero para todo diferente de zero, ou seja, quando . Além disso, sabemos que . A questão pede para a gente verificar se o limite de quando se aproxima de 2 é igual a -3, ou seja:
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cálculo, como o limite de uma função, e analisar as informações que temos sobre .
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um ponto. O limite quer dizer que, embora possa não estar definido ou ter um valor diferente, os valores de estão se aproximando de à medida que chega cada vez mais perto de .
No nosso caso, estamos vendo o que acontece com quando chega perto de 2. A pergunta é se esse comportamento está se aproximando de -3.
Passo 3
Vamos analisar as informações que temos:
para todo . Isso significa que, exceto quando , todos os valores de são positivos.
. Aqui, temos que é diferente de zero, então conforme a primeira informação, deveria ser positivo. Mas foi dado que , que é negativo. Isso já mostra uma inconsistência.
Passo 4
Porém, o que realmente interessa aqui é o comportamento de perto de , ou seja, o limite. Mesmo que , precisamos ver o que acontece com quando está próximo de 2, mas diferente de 2.
Como para todo , incluindo quando está próximo de 2, isso implica que os valores de perto de 2 são positivos. Portanto, se o limite fosse -3, precisaríamos que os valores de estivessem se aproximando de -3, mas isso contraria a condição de que próximo de 2.
Passo 5
Além disso, se o limite fosse verdadeiro, isso significaria que, independentemente do valor exato de , os valores de estariam se aproximando de -3 quando se aproxima de 2. Mas sabemos que perto de 2, então não é possível que os valores estejam se aproximando de -3, que é negativo.
Resposta
A afirmação é falsa. O limite não pode ser igual a -3 porque, para todo , . Portanto, os valores de próximos a 2 são positivos e não se aproximam de -3.