Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é maior que zero para todo
diferente de zero, ou seja,
quando
. Além disso, sabemos que
. A questão pede para a gente verificar se o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a -3, ou seja:
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cálculo, como o limite de uma função, e analisar as informações que temos sobre
.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa o limite de uma função quando
se aproxima de um ponto. O limite
quer dizer que, embora
possa não estar definido ou ter um valor diferente, os valores de
estão se aproximando de
à medida que
chega cada vez mais perto de
.
No nosso caso, estamos vendo o que acontece com
quando
chega perto de 2. A pergunta é se esse comportamento está se aproximando de -3.
Passo 3
Vamos analisar as informações que temos:
-
para todo . Isso significa que, exceto quando , todos os valores de são positivos. -
. Aqui, temos que é diferente de zero, então conforme a primeira informação, deveria ser positivo. Mas foi dado que , que é negativo. Isso já mostra uma inconsistência.
Passo 4
Porém, o que realmente interessa aqui é o comportamento de
perto de
, ou seja, o limite. Mesmo que
, precisamos ver o que acontece com
quando
está próximo de 2, mas diferente de 2.
Como
para todo
, incluindo quando
está próximo de 2, isso implica que os valores de
perto de 2 são positivos. Portanto, se o limite fosse -3, precisaríamos que os valores de
estivessem se aproximando de -3, mas isso contraria a condição de que
próximo de 2.
Passo 5
Além disso, se o limite
fosse verdadeiro, isso significaria que, independentemente do valor exato de
, os valores de
estariam se aproximando de -3 quando
se aproxima de 2. Mas sabemos que
perto de 2, então não é possível que os valores estejam se aproximando de -3, que é negativo.
Resposta
A afirmação é falsa. O limite
não pode ser igual a -3 porque, para todo
,
. Portanto, os valores de
próximos a 2 são positivos e não se aproximam de -3.