Vamos dar uma olhada no enunciado: Temos uma função que é maior que zero para todo diferente de zero, ou seja, para . Além disso, sabemos que . A questão pede para verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e analisar o comportamento de perto de .
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico. O limite representa o valor que tende a assumir conforme se aproxima de , independentemente do valor de em si.
No nosso caso, queremos analisar .
Passo 3
Sabemos que para todo . Isso inclui todos os valores de próximos a 2, desde que não seja exatamente 0 (o que já não é um problema aqui porque estamos falando de próximo a 2).
Portanto, para valores de muito próximos a 2, mas diferentes de 2, temos .
Passo 4
Como é positiva em todos os pontos próximos a 2 (exceto possivelmente em 2, onde ), podemos inferir que conforme se aproxima de 2, os valores de estão se mantendo acima de zero.
Isso implica que, se o limite existe, ele não pode ser negativo nem zero, já que os valores de estão continuamente positivos perto de 2.
Passo 5
Portanto, concluímos que se o limite existe, ele deve ser um valor positivo, pois os valores de estão sempre acima de zero conforme se aproxima de 2.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se existe, ele deve ser positivo porque para todos os próximos a 2 (exceto em ), garantindo que o limite seja um valor positivo.