Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
© Se existir
é positivo
© Se existir
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: Temos uma função
que é maior que zero para todo
diferente de zero, ou seja,
para
. Além disso, sabemos que
. A questão pede para verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
© Se existir
, então esse limite é positivo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e analisar o comportamento de
perto de
.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa o limite de uma função quando
se aproxima de um valor específico. O limite
representa o valor que
tende a assumir conforme
se aproxima de
, independentemente do valor de
em si.
No nosso caso, queremos analisar
.
Passo 3
Sabemos que
para todo
. Isso inclui todos os valores de
próximos a 2, desde que
não seja exatamente 0 (o que já não é um problema aqui porque estamos falando de
próximo a 2).
Portanto, para valores de
muito próximos a 2, mas diferentes de 2, temos
.
Passo 4
Como
é positiva em todos os pontos próximos a 2 (exceto possivelmente em 2, onde
), podemos inferir que conforme
se aproxima de 2, os valores de
estão se mantendo acima de zero.
Isso implica que, se o limite existe, ele não pode ser negativo nem zero, já que os valores de
estão continuamente positivos perto de 2.
Passo 5
Portanto, concluímos que se o limite
existe, ele deve ser um valor positivo, pois os valores de
estão sempre acima de zero conforme
se aproxima de 2.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
existe, ele deve ser positivo porque
para todos os
próximos a 2 (exceto em
), garantindo que o limite seja um valor positivo.