Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
© Se existir lim x 2 f(x) é positivo

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: Temos uma função que é maior que zero para todo diferente de zero, ou seja, para . Além disso, sabemos que . A questão pede para verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
© Se existir , então esse limite é positivo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e analisar o comportamento de perto de .

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico. O limite representa o valor que tende a assumir conforme se aproxima de , independentemente do valor de em si.
No nosso caso, queremos analisar .

Passo 3

Sabemos que para todo . Isso inclui todos os valores de próximos a 2, desde que não seja exatamente 0 (o que já não é um problema aqui porque estamos falando de próximo a 2).
Portanto, para valores de muito próximos a 2, mas diferentes de 2, temos .

Passo 4

Como é positiva em todos os pontos próximos a 2 (exceto possivelmente em 2, onde ), podemos inferir que conforme se aproxima de 2, os valores de estão se mantendo acima de zero.
Isso implica que, se o limite existe, ele não pode ser negativo nem zero, já que os valores de estão continuamente positivos perto de 2.

Passo 5

Portanto, concluímos que se o limite existe, ele deve ser um valor positivo, pois os valores de estão sempre acima de zero conforme se aproxima de 2.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se existe, ele deve ser positivo porque para todos os próximos a 2 (exceto em ), garantindo que o limite seja um valor positivo.

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