Use a definição de derivada da equação 2 para encontrar os valores de f^prime(a) nos pontos dados
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
f(x)=x^2x+6 para a=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h no ponto usando a definição de derivada. Isso significa que vamos aplicar a fórmula:
Então, precisamos entender como aplicar essa definição para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(3) = 3^23 + 6 = 99 = 1 . Substituindo por 3 na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(3 + h) = (3 + h)^2(3 + h) + 6 = (9 + 6h + h^2)9 + h . Substituindo por na função:

Passo 4

Vamos montar a expressão f(3 + h) - f(3) = 9 + 6h + h^29 + h - 1 :
= 9 + 6h + h^29 + h - 9 + h9 + h = (9 + 6h + h^2) - (9 + h)9 + h
Para simplificar, escrevemos o 1 com o mesmo denominador:
= 9 + 6h + h^2 - 9 - h9 + h = 5h + h^29 + h
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, substituímos na definição da derivada:
f^prime(3) = limh to 0 5h + h^29 + hh = limh to 0 5h + h^2h(9 + h)
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por = limh to 0 5 + h9 + h :

Passo 6

Agora, basta calcular o limite quando f^prime(3) = 5 + 09 + 0 = 59 tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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