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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos a função definida no intervalo . Vamos precisar de conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver este exercício.

Passo 2

Como o exercício não especifica o que devemos fazer com a função , vamos supor que queremos calcular a integral definida dessa função no intervalo de 0 a 1. A integral definida nos dá a área sob a curva da função nesse intervalo.

Passo 3

A função que vamos integrar é . Para integrar essa função, podemos usar o método de integração por partes, que é útil para integrar produtos de funções.

Passo 4

A fórmula de integração por partes é:
Precisamos escolher quais partes da nossa função serão e .

Passo 5

Vamos escolher:
Então, diferenciando :
E:
Integrando :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a nova integral .

Passo 7

Para resolver , vamos novamente usar a integração por partes.
Escolhemos:
Então:
E:
Integrando :

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes nesta nova integral:
A integral é simples de resolver.

Passo 9

Calculando a integral:
Agora, substituindo de volta:

Passo 10

Voltando à integral original:

Passo 11

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1:
Vamos calcular em x=1 e x=0:
Para x=1:
Para x=0:

Resposta

Portanto, a integral definida de de 0 a 1 é:
Então, o valor final é aproximadamente 0.1605.

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. Como no exercício anterior, verifique que .
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