b) Para qual valor de teremos a reta como assíntota horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir para qual valor de a reta serve como assíntota horizontal. Vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma assíntota horizontal. É uma reta que a função se aproxima quando vai para ou . Para encontrar a assíntota horizontal de uma função racional , com e sendo polinômios, a gente compara os graus de e .

Passo 3

No nosso caso, e . O grau de é e o grau de é 4, porque o maior expoente de em é 4.

Passo 4

A regra para determinar a assíntota horizontal é:
  • Se o grau de é menor que o grau de , a assíntota horizontal é .
  • Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder de dividido pelo coeficiente líder de .
  • Se o grau de é maior que o grau de , não há assíntota horizontal (pode haver assíntotas oblíquas).

Passo 5

Queremos que a assíntota horizontal seja . Então, precisamos que os graus de e sejam iguais para aplicar a segunda regra.
Ou seja, .

Passo 6

Vamos verificar se realmente temos como assíntota quando :
Dividindo todos os termos por :
Quando vai para ou , tende a 0, então:
Confirma que é realmente a assíntota horizontal.

Resposta

O valor de que faz ser uma assíntota horizontal é .

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e .
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e .
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e .
m)