b) Para qual valor de
teremos a reta
como assíntota horizontal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir para qual valor de
a reta
serve como assíntota horizontal. Vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é uma assíntota horizontal. É uma reta que a função se aproxima quando
vai para
ou
. Para encontrar a assíntota horizontal de uma função racional
, com
e
sendo polinômios, a gente compara os graus de
e
.
Passo 3
No nosso caso,
e
. O grau de
é
e o grau de
é 4, porque o maior expoente de
em
é 4.
Passo 4
A regra para determinar a assíntota horizontal é:
- Se o grau de
é menor que o grau de , a assíntota horizontal é . - Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder de
dividido pelo coeficiente líder de . - Se o grau de
é maior que o grau de , não há assíntota horizontal (pode haver assíntotas oblíquas).
Passo 5
Queremos que a assíntota horizontal seja
. Então, precisamos que os graus de
e
sejam iguais para aplicar a segunda regra.
Ou seja,
.
Passo 6
Vamos verificar se realmente temos
como assíntota quando
:
Dividindo todos os termos por
:
Quando
vai para
ou
,
tende a 0, então:
Confirma que
é realmente a assíntota horizontal.
Resposta
O valor de
que faz
ser uma assíntota horizontal é
.
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e
.
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e
.
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e
.
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