f(x) = 2*x^n / (x^4 + 1)
a) Para quais valores de n teremos o eixo x como assíntota horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir para quais valores de o eixo (ou seja, ) é uma assíntota horizontal dessa função. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de asíntotas horizontais em funções racionais, e vamos precisar entender como o comportamento das potências de no numerador e no denominador afeta o limite da função quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal ocorre quando o limite da função tende a um valor constante à medida que vai para mais ou menos infinito. Se esse valor for zero, então o eixo é a assíntota horizontal.

Passo 3

Para encontrar os valores de que satisfazem essa condição, vamos calcular o limite da função quando tende a infinito:
Esse limite vai depender das potências de no numerador e no denominador.

Passo 4

Vamos analisar as potências de :
  • No numerador, temos .
  • No denominador, o termo de maior potência é .
O comportamento do limite vai depender de como se compara a 4.

Passo 5

  • Se : O denominador cresce mais rápido que o numerador quando tende a infinito. Isso faz com que o limite seja zero.
  • Se : As potências de no numerador e no denominador são iguais. O limite será o coeficiente do termo de maior potência no numerador dividido pelo coeficiente no denominador, ou seja, .
  • Se : O numerador cresce mais rápido que o denominador, fazendo com que o limite seja infinito (não existe assíntota horizontal).

Passo 6

Como queremos que o limite seja zero (para que o eixo seja uma assíntota horizontal), devemos ter .

Resposta

O eixo é assíntota horizontal para todos os valores de menores que 4.

Exercícios relacionados