a) Para quais valores de
teremos o eixo
como assíntota horizontal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa descobrir para quais valores de
o eixo
(ou seja,
) é uma assíntota horizontal dessa função. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de asíntotas horizontais em funções racionais, e vamos precisar entender como o comportamento das potências de
no numerador e no denominador afeta o limite da função quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal ocorre quando o limite da função
tende a um valor constante
à medida que
vai para mais ou menos infinito. Se esse valor
for zero, então o eixo
é a assíntota horizontal.
Passo 3
Para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição, vamos calcular o limite da função
quando
tende a infinito:
Esse limite vai depender das potências de
no numerador e no denominador.
Passo 4
Vamos analisar as potências de
:
- No numerador, temos
. - No denominador, o termo de maior potência é
.
O comportamento do limite vai depender de como
se compara a 4.
Passo 5
- Se
: O denominador cresce mais rápido que o numerador quando tende a infinito. Isso faz com que o limite seja zero. - Se
: As potências de no numerador e no denominador são iguais. O limite será o coeficiente do termo de maior potência no numerador dividido pelo coeficiente no denominador, ou seja, . - Se
: O numerador cresce mais rápido que o denominador, fazendo com que o limite seja infinito (não existe assíntota horizontal).
Passo 6
Como queremos que o limite seja zero (para que o eixo
seja uma assíntota horizontal), devemos ter
.
Resposta
O eixo
é assíntota horizontal para todos os valores de
menores que 4.