e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta quando seu argumento tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), o valor de fica cada vez maior, ou seja, tende ao . Então, o que precisamos calcular é:
onde substituímos .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como o arco-tangente se comporta quando seu argumento vai para mais infinito. A função é uma função que mapeia todos os números reais para o intervalo . Conforme fica muito grande, a se aproxima de .

Passo 4

Portanto, temos que:
Isso significa que conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, se aproxima de .

Resposta

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a) Para quais valores de teremos o eixo como assíntota horizontal?
Resolva a equação diferencial com condição inicial.
.
a)
i)