e) lim x 0^+ arctan (1 / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0^+ arctan (1x). Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta quando seu argumento tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que quando limz +infty arctan(z) se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), o valor de fica cada vez maior, ou seja, tende ao . Então, o que precisamos calcular é:
onde substituímos .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como o arco-tangente se comporta quando seu argumento vai para mais infinito. A função é uma função que mapeia todos os números reais para o intervalo . Conforme fica muito grande, a se aproxima de .

Passo 4

Portanto, temos que:
limz +infty arctan(z) = pi2
Isso significa que conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, se aproxima de .

Resposta

lim x 0^+ arctan (1x) = pi2

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