(3,0 pts) Mostre que
d/dx (cosh(ln x)) = 1/2(1 - 1/x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada de em relação a x é igual a . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosseno, . Sabemos que . Mas para derivar, é mais fácil lembrar que a derivada de em relação a u é .

Passo 3

Agora, aplicando a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. A regra diz que a derivada de em relação a x será a derivada de em relação a u multiplicada pela derivada de em relação a x.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. A derivada de em relação a u é .
  2. A derivada de em relação a x é 1/x.

Passo 5

Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, precisamos simplificar . Lembrando que , então:

Passo 7

Sabemos que e , então substituindo:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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