(3,0 pts) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosseno,
. Sabemos que
. Mas para derivar, é mais fácil lembrar que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, aplicando a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. A regra diz que a derivada de
em relação a
será a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, precisamos simplificar
. Lembrando que
, então:
Passo 7
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, mostramos que: