Resolva a equação diferencial com condição inicial.
y' = y^2 com y(-1) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é ótimo para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. É uma equação que envolve uma função desconhecida e suas derivadas. Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

A equação que temos é . Para resolver, vamos separar as variáveis e de lados diferentes da equação. Isso significa reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 4

Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos as variáveis:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de é:
E a integral de é:

Passo 6

Juntando as integrais, temos:
Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituímos e na equação:
Simplificando:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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