Resolva a equação diferencial com condição inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é ótimo para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. É uma equação que envolve uma função desconhecida
e suas derivadas. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A equação que temos é
. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
de lados diferentes da equação. Isso significa reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 4
Vamos reescrever a equação:
Agora, separamos as variáveis:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de
é:
E a integral de
é:
Passo 6
Juntando as integrais, temos:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Simplificando:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: