e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas, como aqui onde temos a raiz cúbica e a função tangente. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, reconhecemos que temos uma função externa e uma função interna .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de em relação a é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que:
Isso porque a derivada de é , e aqui cuja derivada é 3.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Os 3 se cancelam:

Passo 6

Vamos reescrever como e lembrar que :
Mas para simplificar ainda mais, usamos identidades trigonométricas e propriedades de potências para chegar à forma final mais elegante.

Resposta

A derivada de é:

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v)
q)
i)
o)