v)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e queremos encontrar a derivada dela, ou seja,
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia, para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Observe que
pode ser escrita como
. Assim, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa função. Para isso, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Seja
e
. Então:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para derivar
, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de
é
.
Aqui,
e
. Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Para combinar os termos, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A derivada da função é:
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q)
j)
e)
i)