Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (d) que pede para encontrar a composição da função
com ela mesma, ou seja,
. Estamos trabalhando com funções que envolvem radiciação, então vamos precisar lembrar como compor funções e determinar o domínio de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. A composição
significa que vamos aplicar a função
duas vezes. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir a definição de
na expressão
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos determinar o domínio de
. O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas.
Primeiro, vamos encontrar o domínio de
:
Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
Agora, para
, precisamos que a saída da primeira aplicação de
seja válida para a segunda aplicação de
. Ou seja, a expressão dentro da segunda raiz também deve ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
Como a raiz quadrada sempre é não negativa, essa desigualdade será verdadeira se
, o que já sabemos que
.
Passo 6
Além disso, para que a expressão
esteja definida, precisamos que
, ou seja,
.
Portanto, o domínio de
é
.
Resposta
A composição
é dada por:
E o domínio de
é
.
Exercícios relacionados
Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios.
(a)
(a)
Encontre a função inversa de
Resolva cada inequação em
.
(d)
(d)
Mostre que
(I)
(I)