Se e , encontre cada uma das funções e seus domínios.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (d) que pede para encontrar a composição da função com ela mesma, ou seja, . Estamos trabalhando com funções que envolvem radiciação, então vamos precisar lembrar como compor funções e determinar o domínio de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. A composição significa que vamos aplicar a função duas vezes. Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir a definição de na expressão . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio de . O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas.
Primeiro, vamos encontrar o domínio de :
Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é .

Passo 5

Agora, para , precisamos que a saída da primeira aplicação de seja válida para a segunda aplicação de . Ou seja, a expressão dentro da segunda raiz também deve ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
Como a raiz quadrada sempre é não negativa, essa desigualdade será verdadeira se , o que já sabemos que .

Passo 6

Além disso, para que a expressão esteja definida, precisamos que , ou seja, .
Portanto, o domínio de é .

Resposta

A composição é dada por:
E o domínio de é .

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(a)
Encontre a função inversa de
Resolva cada inequação em .
(d)
Mostre que
(I)