Se f(x)=raizx e g(x)=raiz5-x, encontre cada uma das funções e seus domínios: f circ g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
O que precisamos fazer é encontrar a função composta , que significa aplicar a função primeiro e depois a função no resultado. Também vamos descobrir os domínios dessas funções, ou seja, os conjuntos de valores de para os quais as funções estão definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é função composta. A notação (f circ g)(x) = f(g(x)) representa , o que significa que a gente vai substituir na função . Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular g(x) = raiz5 - x . Sabemos que:
f(g(x)) = f(raiz5 - x) = raizraiz5 - x
Então, substituindo isso na função (f circ g)(x) = raizraiz5 - x = (5 - x)^1/4 :
Mas simplificando, podemos escrever:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio da função composta. O domínio de g(x) = raiz5 - x depende dos domínios de 5 - x >= 0 implies x <= 5 e .
Primeiro, vamos descobrir o domínio de :
O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é .

Passo 5

Em seguida, consideramos a função f(g(x)) = raizraiz5 - x aplicada a x <= 5 :
Para que seja um número real, já precisamos que . E como estamos tirando a raiz quadrada de , também precisamos que . Mas como a raiz quadrada já é não negativa, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio da função composta é o mesmo que o domínio de :

Resposta

A função composta é:
(f circ g)(x) = raizraiz5 - x = (5 - x)^1/4
E o domínio de é todos os números reais tais que .

Exercícios relacionados