Use coordenadas polares esféricas para determinar o CM de uma casca hemisférica de raio
, cuja face plana repousa sobre o plano
com o seu centro sobre a origem. O elemento de volume ás em coordenadas polares esféricas, é
. (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Centro de Massa (CM) de uma casca hemisférica usando coordenadas polares esféricas. A casca tem raio
, está apoiada no plano
e o centro dela está na origem. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do elemento de área em coordenadas polares esféricas, que é
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como a casca é hemisférica e está simétrica em relação ao eixo
, o CM vai estar localizado ao longo desse eixo. Então, só precisamos encontrar a coordenada
do CM.
Passo 3
A fórmula para calcular a coordenada
do CM é:
Onde
é a área total da casca hemisférica e
na coordenada esférica.
Passo 4
Vamos calcular a área total
da casca hemisférica. A integral fica:
Passo 5
Resolvendo a integral para
:
Primeiro, integraremos em
:
Depois, integremos em
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral no numerador da fórmula do
:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Primeiro, integraremos em
:
Depois, integremos em
:
Então, a integral fica
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do
:
Resposta
O Centro de Massa da casca hemisférica está localizado a uma altura
acima do plano
.
Exercícios relacionados
Encontre a função inversa de
.
Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios:
.
Um foguete (com massa inicial
) precisa usar seus motores para pairar estático, um pouco acima do solo. (a) Se ele pode desprender no máximo uma quantidade de massa
de seu combustível inicial, por quanto tempo ele pode pairar?
Um foguete (com massa inicial
) precisa usar seus motores para pairar estático, um pouco acima do solo. (b) Se
e
, por quanto tempo o foguete poderá pairar um pouco acima da superficie da Terra? (Valor: 1,0 ponto)