Use coordenadas polares esféricas para determinar o CM de uma casca hemisférica de raio R, cuja face plana repousa sobre o plano x y com o seu centro sobre a origem. O elemento de volume ás em coordenadas polares esféricas, é d A=r^2 sin theta d theta d phi. (Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Centro de Massa (CM) de uma casca hemisférica usando coordenadas polares esféricas. A casca tem raio R, está apoiada no plano xy e o centro dela está na origem. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do elemento de área em coordenadas polares esféricas, que é dA = r^2 sin theta , dtheta , dphi. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como a casca é hemisférica e está simétrica em relação ao eixo z, o CM vai estar localizado ao longo desse eixo. Então, só precisamos encontrar a coordenada z do CM.

Passo 3

A fórmula para calcular a coordenada z do CM é:
zCM = 1A integral z , dA
Onde A é a área total da casca hemisférica e z = r cos theta na coordenada esférica.

Passo 4

Vamos calcular a área total A da casca hemisférica. A integral fica:
A = integral dA = integral0^2pi integral0^pi2 R^2 sin theta , dtheta , dphi

Passo 5

Resolvendo a integral para A:
Primeiro, integraremos em theta:
integral0^pi2 sin theta , dtheta = 1
Depois, integremos em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Então, A = R^2 times 1 times 2pi = 2pi R^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral no numerador da fórmula do zCM:
integral z , dA = integral0^2pi integral0^pi2 R cos theta times R^2 sin theta , dtheta , dphi = R^3 integral0^2pi integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta , dphi

Passo 7

Resolvendo a integral:
Primeiro, integraremos em theta:
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 12
Depois, integremos em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Então, a integral fica R^3 times 12 times 2pi = pi R^3

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do zCM:
zCM = pi R^32pi R^2 = R2

Resposta

O Centro de Massa da casca hemisférica está localizado a uma altura zCM = R2 acima do plano xy.

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