Use coordenadas polares esféricas para determinar o CM de uma casca hemisférica de raio
, cuja face plana repousa sobre o plano
com o seu centro sobre a origem. O elemento de volume ás em coordenadas polares esféricas, é
. (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Centro de Massa (CM) de uma casca hemisférica usando coordenadas polares esféricas. A casca tem raio
, está apoiada no plano
e o centro dela está na origem. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do elemento de área em coordenadas polares esféricas, que é
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como a casca é hemisférica e está simétrica em relação ao eixo
, o CM vai estar localizado ao longo desse eixo. Então, só precisamos encontrar a coordenada
do CM.
Passo 3
A fórmula para calcular a coordenada
do CM é:
Onde
é a área total da casca hemisférica e
na coordenada esférica.
Passo 4
Vamos calcular a área total
da casca hemisférica. A integral fica:
Passo 5
Resolvendo a integral para
:
Primeiro, integraremos em
:
Depois, integremos em
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral no numerador da fórmula do
:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Primeiro, integraremos em
:
Depois, integremos em
:
Então, a integral fica
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do
:
Resposta
O Centro de Massa da casca hemisférica está localizado a uma altura
acima do plano
.