.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve a função
no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente para encontrar os máximos e mínimos da função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender como derivar a função e analisar seus pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar os máximos e mínimos de uma função. Basicamente, queremos descobrir os pontos onde a função atinge seu valor mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) dentro do intervalo dado. Para isso, usamos a derivada da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
. Lembre-se que a derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa função.
Primeiro, representamos
como
.
Então, temos:
Agora, aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Para facilitar, vamos colocar os termos com o mesmo denominador:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos resolver quando a derivada é igual a zero:
O numerador deve ser zero:
Também precisamos verificar se a derivada existe em todo o intervalo. Observamos que
para
, o que é verdadeiro no intervalo dado
.
Passo 6
Agora, vamos analisar os pontos críticos e os limites do intervalo para determinar os máximos e mínimos.
Pontos a considerar:
-
(ponto crítico) -
(extremo esquerdo do intervalo) -
(extremo direito do intervalo)
Vamos calcular
em cada um desses pontos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 7
Comparando os valores:
Podemos ver que:
- O máximo da função no intervalo é
em . - O mínimo da função no intervalo é
em .
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu máximo de
em
e seu mínimo de
em
.