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Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve a função no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente para encontrar os máximos e mínimos da função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender como derivar a função e analisar seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar os máximos e mínimos de uma função. Basicamente, queremos descobrir os pontos onde a função atinge seu valor mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) dentro do intervalo dado. Para isso, usamos a derivada da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . Lembre-se que a derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa função.
Primeiro, representamos como .
Então, temos:
Agora, aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Para facilitar, vamos colocar os termos com o mesmo denominador:

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos resolver quando a derivada é igual a zero:
O numerador deve ser zero:
Também precisamos verificar se a derivada existe em todo o intervalo. Observamos que para , o que é verdadeiro no intervalo dado .

Passo 6

Agora, vamos analisar os pontos críticos e os limites do intervalo para determinar os máximos e mínimos.
Pontos a considerar:
  • (ponto crítico)
  • (extremo esquerdo do intervalo)
  • (extremo direito do intervalo)
Vamos calcular em cada um desses pontos:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Passo 7

Comparando os valores:
Podemos ver que:
  • O máximo da função no intervalo é em .
  • O mínimo da função no intervalo é em .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu máximo de em e seu mínimo de em .

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