Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as direções
e os valores de
tais que
.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre derivadas direcionais.
- Gradiente da função.
- Normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
Onde
é o gradiente da função
, e
representa o produto escalar.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então,
.
Passo 5
Queremos que a derivada direcional nessa direção seja igual a 4:
Substituindo o gradiente:
Passo 6
Como
é uma direção, ele deve ser um vetor unitário. Então, temos:
Agora, temos um sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar denominadores:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Vamos encontrar
para cada caso.
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,
Passo 10
Agora, temos duas direções
onde a derivada direcional é 4:
Resposta
As direções
que satisfazem
são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
se
Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
Se
, para que valores de
temos que