Seja . Encontre as direções u e os valores de para os quais

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as direções e os valores de tais que .
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre derivadas direcionais.
  • Gradiente da função.
  • Normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
Onde é o gradiente da função , e representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, .

Passo 5

Queremos que a derivada direcional nessa direção seja igual a 4:
Substituindo o gradiente:

Passo 6

Como é uma direção, ele deve ser um vetor unitário. Então, temos:
Agora, temos um sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar denominadores:

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 9

Vamos encontrar para cada caso.
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,

Passo 10

Agora, temos duas direções onde a derivada direcional é 4:

Resposta

As direções que satisfazem são e .

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Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
se
Seja . Encontre as direções u e os valores de para os quais
Se , para que valores de temos que