.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício nos apresenta. Temos a função
definida no intervalo
. Vamos trabalhar com conceitos de funções e verificar se
é uma função densidade de probabilidade, ou seja, se ela satisfaz as condições necessárias para ser considerada uma distribuição de probabilidade.
Passo 2
Para que
seja uma função densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade:
para todo no intervalo. - Integral igual a 1: A integral de
sobre todo o intervalo deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
Verificando a não-negatividade:
Vamos analisar a expressão
no intervalo
.
-
Para
: -
Para
:
Como a função é linear e aumenta de
para
no intervalo dado,
é sempre positiva nesse intervalo.
Passo 4
Calculando a integral de
no intervalo
:
Podemos fatorar a constante
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Multiplicando pela constante:
Resposta
Como a integral de
no intervalo dado é aproximadamente 1,6875, que é maior que 1,
não é uma função densidade de probabilidade válida.
Exercícios relacionados
Ponto crítico em
, de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para
e crescente para
. Ela não tem máximo, sendo
.
Pontos críticos em
e
, o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois
) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois
). A função é decrescente em
e crescente em
e
.