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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício nos apresenta. Temos a função definida no intervalo . Vamos trabalhar com conceitos de funções e verificar se é uma função densidade de probabilidade, ou seja, se ela satisfaz as condições necessárias para ser considerada uma distribuição de probabilidade.

Passo 2

Para que seja uma função densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo no intervalo.
  2. Integral igual a 1: A integral de sobre todo o intervalo deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

Verificando a não-negatividade:
Vamos analisar a expressão no intervalo .
  • Para :
  • Para :
Como a função é linear e aumenta de para no intervalo dado, é sempre positiva nesse intervalo.

Passo 4

Calculando a integral de no intervalo :
Podemos fatorar a constante :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:
Multiplicando pela constante:

Resposta

Como a integral de no intervalo dado é aproximadamente 1,6875, que é maior que 1, não é uma função densidade de probabilidade válida.

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Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para e crescente para . Ela não tem máximo, sendo .
Pontos críticos em e , o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois ) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois ). A função é decrescente em e crescente em e .
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