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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é . Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, mais especificamente com a função seno hiperbólico, que é uma parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver o que for pedido, provavelmente vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função seno hiperbólico. A função é definida por:
Ela é similar ao seno trigonométrico, mas envolve exponenciais. Agora, queremos derivar em relação a .

Passo 3

Para derivar , onde , vamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos diz que se temos uma função composta, a derivada é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Matematicamente:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Derivada da função externa :
Onde é a função cosseno hiperbólico definida por:
  1. Derivada da função interna :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra da Cadeia:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para e crescente para . Ela não tem máximo, sendo .
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