Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para e crescente para . Ela não tem máximo, sendo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos dizendo. Temos uma função que tem um ponto crítico em . Esse ponto é um mínimo absoluto porque a função está decrescendo quando e crescente quando . Além disso, a função não tem um máximo e o valor da função fica sempre menor que 1 quando vai para mais ou menos infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Ponto crítico: onde a derivada da função é zero ou não existe.
  • Mínimo/ Máximo absoluto: o menor ou maior valor que a função atinge no seu domínio.
  • Comportamento da função: se está crescendo ou decrescendo em determinados intervalos.
  • Limite da função no infinito: para saber como a função se comporta quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que significa a função ser decrescente para e crescente para . Isso está relacionado à derivada da função.
  • Derivada negativa ( ) indica que a função está decrescendo.
  • Derivada positiva ( ) indica que a função está crescendo.
Então, se a função é decrescente antes de e crescente depois, isso sugere que é um ponto onde a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 3

Como a função tem apenas esse ponto crítico e se comporta assim para todo , podemos concluir que esse mínimo local é, na verdade, um mínimo absoluto. Isso porque não há outros pontos onde a função atinge valores menores.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o máximo. A questão diz que a função não tem um máximo e que quando vai para mais ou menos infinito. Isso significa que não há nenhum ponto onde a função atinge um valor maior que 1 ou mesmo igual a 1 dentro de todo o domínio.

Passo 5

Por último, vamos entender o limite da função quando tende a mais ou menos infinito. A afirmação nos diz que, conforme cresce para valores muito grandes positivos ou negativos, a função se aproxima de 1, mas nunca a alcança exatamente, permanecendo sempre menor que 1.

Resposta

Portanto, a função tem um ponto crítico em que é um mínimo absoluto, não possui máximo e satisfaz quando tende a mais ou menos infinito.

Exercícios relacionados

Pontos críticos em e , o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois ) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois ). A função é decrescente em e crescente em e .
. Observe que estes dois pontos estão no intervalo , como deve ser.
.
.