Ponto crítico em
, de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para
e crescente para
. Ela não tem máximo, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos dizendo. Temos uma função que tem um ponto crítico em
. Esse ponto é um mínimo absoluto porque a função está decrescendo quando
e crescente quando
. Além disso, a função não tem um máximo e o valor da função fica sempre menor que 1 quando
vai para mais ou menos infinito.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Ponto crítico: onde a derivada da função é zero ou não existe.
- Mínimo/ Máximo absoluto: o menor ou maior valor que a função atinge no seu domínio.
- Comportamento da função: se está crescendo ou decrescendo em determinados intervalos.
- Limite da função no infinito: para saber como a função se comporta quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que significa a função ser decrescente para
e crescente para
. Isso está relacionado à derivada da função.
- Derivada negativa (
) indica que a função está decrescendo. - Derivada positiva (
) indica que a função está crescendo.
Então, se a função é decrescente antes de
e crescente depois, isso sugere que
é um ponto onde a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 3
Como a função tem apenas esse ponto crítico e se comporta assim para todo
, podemos concluir que esse mínimo local é, na verdade, um mínimo absoluto. Isso porque não há outros pontos onde a função atinge valores menores.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o máximo. A questão diz que a função não tem um máximo e que
quando
vai para mais ou menos infinito. Isso significa que não há nenhum ponto onde a função atinge um valor maior que 1 ou mesmo igual a 1 dentro de todo o domínio.
Passo 5
Por último, vamos entender o limite da função quando
tende a mais ou menos infinito. A afirmação
nos diz que, conforme
cresce para valores muito grandes positivos ou negativos, a função se aproxima de 1, mas nunca a alcança exatamente, permanecendo sempre menor que 1.
Resposta
Portanto, a função tem um ponto crítico em
que é um mínimo absoluto, não possui máximo e satisfaz
quando
tende a mais ou menos infinito.
Exercícios relacionados
Pontos críticos em
e
, o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois
) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois
). A função é decrescente em
e crescente em
e
.