Pontos críticos em e , o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois ) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois ). A função é decrescente em e crescente em e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está falando. Temos uma função que tem pontos críticos em e . O ponto em é um máximo local (mas não absoluto) e o ponto em é um mínimo local (também não absoluto). Além disso, a função está decrescente no intervalo e crescente em e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos ou mínimos locais na função.

Passo 3

Sabemos que em , a função tem um máximo local. Isso significa que a derivada muda de positiva para negativa nesse ponto. Já em , temos um mínimo local, então muda de negativa para positiva.

Passo 4

Vamos considerar a derivada da função . Como temos as informações sobre onde a função está aumentando ou diminuindo, podemos usar isso para esboçar o sinal da derivada:
  • Crescente em e
  • Decrescente em
Isso nos dá informações sobre o comportamento da derivada em diferentes intervalos.

Passo 5

Com base nos intervalos onde a derivada é positiva ou negativa, podemos deduzir que a derivada deve ter fatores que se anulam em e . Assim, podemos escrever a derivada como:
Onde é uma constante. Para que a derivada seja positiva fora do intervalo e negativa dentro dele, a constante deve ser negativa.

Passo 6

Escolhemos para simplificar. Então, temos:
Agora, para encontrar a função , precisamos integrar a derivada:

Passo 7

Primeiro, expandimos o produto dentro da integral:
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
Essa é a forma geral da função que atende às condições do problema.

Passo 9

Para determinar o valor de , precisaríamos de uma condição adicional, como um ponto específico que a função passa. Como essa informação não foi fornecida, deixamos como uma constante.

Resposta

A função que satisfaz todas as condições descritas é:
Onde é uma constante real.

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. Observe que estes dois pontos estão no intervalo , como deve ser.
.
Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para e crescente para . Ela não tem máximo, sendo .
.