Pontos críticos em
e
, o primeiro de máximo local (mas não absoluto, pois
) e o segundo de mínimo local (mas não absoluto, pois
). A função é decrescente em
e crescente em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está falando. Temos uma função que tem pontos críticos em
e
. O ponto em
é um máximo local (mas não absoluto) e o ponto em
é um mínimo local (também não absoluto). Além disso, a função está decrescente no intervalo
e crescente em
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos ou mínimos locais na função.
Passo 3
Sabemos que em
, a função tem um máximo local. Isso significa que a derivada
muda de positiva para negativa nesse ponto. Já em
, temos um mínimo local, então
muda de negativa para positiva.
Passo 4
Vamos considerar a derivada da função
. Como temos as informações sobre onde a função está aumentando ou diminuindo, podemos usar isso para esboçar o sinal da derivada:
- Crescente em
e ⟹ - Decrescente em
⟹
Isso nos dá informações sobre o comportamento da derivada em diferentes intervalos.
Passo 5
Com base nos intervalos onde a derivada é positiva ou negativa, podemos deduzir que a derivada
deve ter fatores que se anulam em
e
. Assim, podemos escrever a derivada como:
Onde
é uma constante. Para que a derivada seja positiva fora do intervalo
e negativa dentro dele, a constante
deve ser negativa.
Passo 6
Escolhemos
para simplificar. Então, temos:
Agora, para encontrar a função
, precisamos integrar a derivada:
Passo 7
Primeiro, expandimos o produto dentro da integral:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Essa é a forma geral da função que atende às condições do problema.
Passo 9
Para determinar o valor de
, precisaríamos de uma condição adicional, como um ponto específico que a função passa. Como essa informação não foi fornecida, deixamos
como uma constante.
Resposta
A função que satisfaz todas as condições descritas é:
Onde
é uma constante real.
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Ponto crítico em
, de mínimo absoluto, pois a função é decrescente para
e crescente para
. Ela não tem máximo, sendo
.