Se f(x) = (x + 2)^(3) + (x - 1)^(3) + 5 a x + 2 b, com a e b reais, é divisível por (x+1)^2, então a - b = 1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma função , onde e são números reais. A questão diz que essa função é divisível por . Nosso objetivo é descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Resto, que ajuda a determinar divisibilidade de polinômios. Vamos precisar calcular a função e sua derivada no ponto onde se anula, ou seja, em .

Passo 2

Segundo o Teorema do Resto, se é divisível por , então:
  1. (o polinômio se anula em )
  2. (a derivada do polinômio também se anula em )
Vamos começar calculando .

Passo 3

Calculando :
Simplificando cada parte:
Então:
Como , temos:
çã

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada e depois avaliar em .
Primeiro, derivamos :
Agora, calculando :
Simplificando cada parte:
Então:
Como , temos:
çã

Passo 5

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

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