Para f(x)=x+3(x+1)^2 lim x -1 f(x) existe? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir se o limite dessa função quando se aproxima de existe. Vamos usar o conceito de limite em cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir f(-1) = -1 + 3(-1 + 1)^2 = 20 na função para ver o que acontece:
Aqui, o denominador dá , o que significa que a função não está definida exatamente em . Isso já nos dá um sinal de que algo interessante está rolando ali, talvez uma assíntota vertical.

Passo 3

Como a função não está definida em , precisamos analisar o comportamento dela quando se aproxima de por valores menores que (pela esquerda) e por valores maiores que (pela direita). Isso nos ajuda a entender se o limite existe ou não.

Passo 4

Vamos calcular o limite quando limx to -1^- x+3(x+1)^2 se aproxima de por valores menores que :
Nesse caso, o numerador tende a , e o denominador tende a , mas como está ao quadrado, o resultado é sempre positivo, ou seja, . Então, o limite tende a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx to -1^+ x+3(x+1)^2 se aproxima de por valores maiores que :
Aqui, o número de novo tende a e o denominador tende a , porque o quadrado do denominador é sempre positivo. Então, esse limite também tende a .

Resposta

Como os limites pela esquerda e pela direita ambos tendem a , podemos concluir que o limite de quando se aproxima de não existe de forma finita, mas sim que a função cresce sem limites nesse ponto.

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