Use o teorema do confronto para calcular o limite lim x 0 x^4 cos (3x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando o Teorema do Confronto. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e ao entendimento de funções limitadas. Para isso, vamos precisar lembrar que a função cosseno sempre fica entre -1 e 1, o que vai ser crucial para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Então, podemos escrever:
-1 <= cos(3x) <= 1
Isso significa que, independente do valor de , nunca vai passar desses limites.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x^4 <= x^4 cos(3x) <= x^4 . Como é sempre positivo (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), a direção das desigualdades não muda:
Isso cria uma “faixa” onde a nossa função está presa.

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos calcular o limite das duas extremidades dessa desigualdade quando limx to 0 -x^4 = 0 e limx to 0 x^4 = 0 se aproxima de 0:
Ambos os limites são 0 porque tende a zero quando se aproxima de zero.

Passo 5

Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é esse valor comum. Como vimos que lim x 0 x^4 cos (3x) = 0 e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:

Resposta

O limite é 0.

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