Use o teorema do confronto para calcular o limite
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando o Teorema do Confronto. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e ao entendimento de funções limitadas. Para isso, vamos precisar lembrar que a função cosseno sempre fica entre -1 e 1, o que vai ser crucial para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Então, podemos escrever:
Isso significa que, independente do valor de
,
nunca vai passar desses limites.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), a direção das desigualdades não muda:
Isso cria uma “faixa” onde a nossa função
está presa.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos calcular o limite das duas extremidades dessa desigualdade quando
se aproxima de 0:
Ambos os limites são 0 porque
tende a zero quando
se aproxima de zero.
Passo 5
Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é esse valor comum. Como vimos que
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
Resposta
O limite é 0.