Sobre a função f(x) = { x + 1, se x < -1; x^2, se -1 <= x <= 1; 2 - x, se x > 1 }, 0,4 pt Em que valores do domínio de f(x) a função é continua?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir em quais valores de essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar os pontos onde a definição da função muda, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. existe.
  2. existe.
  3. .
Isso significa que não há “quebras” ou “saltos” na função naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar os intervalos onde a função está bem definida e continua:
  1. Para : A função é , que é uma função polinomial. Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, então aqui não há problema de continuidade.
  2. Para : A função é , que também é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo o seu domínio.
  3. Para : A função é , mais uma vez uma função polinomial contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos e .

Verificando em :

  • Valor da função em :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), a função apresenta uma descontinuidade em .

Verificando em :

  • Valor da função em :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Aqui, os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função. Portanto, a função é contínua em .

Passo 5

Resumindo:
  • A função é contínua em todos os intervalos onde está definida por uma expressão polinomial.
  • A única descontinuidade ocorre em , onde os limites laterais não coincidem.
  • Em , a função continua sem problemas.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de no seu domínio, exceto em .

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