(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
Onde
representa a resistência dissipativa e
. Encontre a equação de movimento
para os casos:
a) Raizes complexas;
a) Raizes complexas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações amortecidas. A gente tem uma equação que descreve o movimento de um oscilador com resistência, que é tipo um amortecedor. A equação dada é:
Aqui,
é a massa,
é a constante elástica, e
é a resistência que impede o movimento. Nosso objetivo é encontrar a função
que descreve como a posição do oscilador muda com o tempo quando as raízes da equação característica são complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar tudo igual a zero. Dividimos cada termo por
para simplificar:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração), e
é a primeira derivada (velocidade).
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos
por
, onde
é uma constante que vamos encontrar:
Essa é uma equação quadrática em termos de
.
Passo 4
Para achar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Passo 5
Para as raízes serem complexas, o discriminante (a parte dentro da raiz quadrada) precisa ser negativo. Ou seja:
Isso implica que:
Quando isso acontece, as raízes serão da forma:
onde
e
.
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.
Resposta
A equação de movimento para o oscilador com raízes complexas é:
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Obs.: Não precisa de cortes. Atenção no esboço.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.