(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
m * d²x/dt² = -k * x - ρ * dx/dt
Onde rho * x_dot representa a resistência dissipativa e rho > 0. Encontre a equação de movimento x(t) para os casos:
a) Raizes complexas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações amortecidas. A gente tem uma equação que descreve o movimento de um oscilador com resistência, que é tipo um amortecedor. A equação dada é:
Aqui, m é a massa, k é a constante elástica, e rho * x_dot é a resistência que impede o movimento. Nosso objetivo é encontrar a função x(t) que descreve como a posição do oscilador muda com o tempo quando as raízes da equação característica são complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar tudo igual a zero. Dividimos cada termo por m para simplificar:
Aqui, é a segunda derivada de x em relação ao tempo (aceleração), e é a primeira derivada (velocidade).

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos x por , onde lambda é uma constante que vamos encontrar:
Essa é uma equação quadrática em termos de lambda.

Passo 4

Para achar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 5

Para as raízes serem complexas, o discriminante (a parte dentro da raiz quadrada) precisa ser negativo. Ou seja:
Isso implica que:
Quando isso acontece, as raízes serão da forma:
onde e .

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo alpha e beta:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.

Resposta

A equação de movimento para o oscilador com raízes complexas é:

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