Para f(x)=xln x, determine:
lim x 0^+ f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, especialmente quando lidamos com expressões que envolvem funções logarítmicas e comportamento próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções envolvidas quando limx 0^+ xln x = 0-infty se aproxima de 0 pela direita:
  • tende a 0.
  • tende a porque o logaritmo natural de um número próximo de 0 é um número muito negativo.
Então, temos uma situação onde o numerador está indo para 0 e o denominador está indo para , o que sugere que o limite pode ser 0. Mas para termos certeza, vamos aplicar a regra de L’Hôpital.
A regra de L’Hôpital é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Ela nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
No nosso caso, à medida que :
Essa forma não é indeterminada, mas sim uma expressão que claramente tende a 0, pois um número finito dividido por um número que cresce sem limite (em módulo) tende a 0.

Passo 3

Portanto, concluímos que:
limx 0^+ xln x = 0

Resposta

limx 0^+ xln x = 0

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