Se f(x) = (x * e^x) / (x + 1), encontre o valor de f'(0).
a) 1
b) e
c) 0
d) e - 1
e) -1 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas e a regra do quociente, que é utilizada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. No numerador temos e no denominador temos .

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 4

Primeiro, encontramos as derivadas de e .
Para , aplicamos a regra do produto:
Para , a derivada é:

Passo 5

Agora, substituímos , , e na fórmula da derivada do quociente:

Passo 6

Simplificamos a expressão no numerador:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos avaliar . Substituímos na expressão:

Resposta

A opção correta é a) 1.

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