Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos determinar o domínio dessa função e derivá-la. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções exponenciais e polinomiais, além das regras de derivação, como a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto dos valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Analisando a função
, vemos que temos três partes:
-
: é uma constante, não depende de . -
: é um polinômio, definido para todo número real. -
: é uma função exponencial, definida para todo número real.
Passo 4
Como todas as partes da função estão definidas para todo
, o domínio de
é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 5
Agora vamos derivar
. Temos uma função da forma
. Para derivar produtos de múltiplas funções, podemos aplicar a regra do produto de forma sistemática.
Passo 6
Podemos simplificar a função antes de derivar. Sabemos que
é uma constante igual a 243. Portanto:
Passo 7
Usaremos a regra do produto para derivadas, que para duas funções
e
é:
Aqui temos três fatores, então aplicamos a regra do produto para múltiplas funções:
Passo 8
Calculamos as derivadas individuais:
-
(regra do poder) -
(derivada de função exponencial)
Passo 9
Substituindo as derivadas:
Passo 10
Fatorando
:
Resposta
O domínio de
é
e a derivada é:
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Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
.
Calcule os limites :
Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.