Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar o domínio dessa função e derivá-la. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções exponenciais e polinomiais, além das regras de derivação, como a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de . O domínio de uma função é o conjunto dos valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Analisando a função , vemos que temos três partes:
  • : é uma constante, não depende de .
  • : é um polinômio, definido para todo número real.
  • : é uma função exponencial, definida para todo número real.

Passo 4

Como todas as partes da função estão definidas para todo , o domínio de é , ou seja, todos os números reais.

Passo 5

Agora vamos derivar . Temos uma função da forma . Para derivar produtos de múltiplas funções, podemos aplicar a regra do produto de forma sistemática.

Passo 6

Podemos simplificar a função antes de derivar. Sabemos que é uma constante igual a 243. Portanto:

Passo 7

Usaremos a regra do produto para derivadas, que para duas funções e é:
Aqui temos três fatores, então aplicamos a regra do produto para múltiplas funções:

Passo 8

Calculamos as derivadas individuais:
  • (regra do poder)
  • (derivada de função exponencial)

Passo 9

Substituindo as derivadas:

Passo 10

Fatorando :

Resposta

O domínio de é e a derivada é:

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Calcule para as seguintes funções:
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Calcule os limites :
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