Se
é uma função bijetiva prove que existe uma única função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos uma função
que é bijetiva, então existe uma única função
que satisfaz
e
. Estamos lidando aqui com funções bijetivas e função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetiva e como definir a função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetiva. Uma função é bijetiva se ela é injetora (cada elemento de Y é mapeado por no máximo um elemento de X) e sobretora (cada elemento de Y é mapeado por pelo menos um elemento de X). Isso garante que cada elemento de Y corresponde a um único elemento de X, e vice-versa.
Passo 3
Agora, queremos definir a função
que vai ser a função inversa de
. A ideia é que para cada
, exista um único
tal que
. Como
é bijetiva, essa correspondência é garantida.
Passo 4
Vamos definir
onde
é o único elemento em
que satisfaz
. Como
é bijetiva, sabemos que para cada
existe exatamente um
, então
está bem definida.
Passo 5
Agora, vamos provar que
. Para qualquer
, temos:
Isso mostra que
é a função identidade em
, ou seja,
.
Passo 6
De forma semelhante, vamos provar que
. Para qualquer
, temos:
Isso mostra que
é a função identidade em
, ou seja,
.
Passo 7
Por fim, a unicidade de
vem do fato de que a correspondência entre
e
é única devido à bijetividade de
. Ou seja, não pode existir outra função
que satisfaz as mesmas condições sem ser igual a
.
Resposta
Existe uma única função inversa
que satisfaz
e
.