Se f: X Y é uma função bijetiva prove que existe uma única função g: Y X tal que f circ g=IY e g circ f=IX.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos uma função que é bijetiva, então existe uma única função que satisfaz e . Estamos lidando aqui com funções bijetivas e função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetiva e como definir a função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetiva. Uma função é bijetiva se ela é injetora (cada elemento de Y é mapeado por no máximo um elemento de X) e sobretora (cada elemento de Y é mapeado por pelo menos um elemento de X). Isso garante que cada elemento de Y corresponde a um único elemento de X, e vice-versa.

Passo 3

Agora, queremos definir a função que vai ser a função inversa de . A ideia é que para cada , exista um único tal que . Como é bijetiva, essa correspondência é garantida.

Passo 4

Vamos definir onde é o único elemento em que satisfaz . Como é bijetiva, sabemos que para cada existe exatamente um , então está bem definida.

Passo 5

Agora, vamos provar que (f circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y . Para qualquer , temos:
Isso mostra que é a função identidade em , ou seja, .

Passo 6

De forma semelhante, vamos provar que (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x . Para qualquer , temos:
Isso mostra que é a função identidade em , ou seja, .

Passo 7

Por fim, a unicidade de vem do fato de que a correspondência entre e é única devido à bijetividade de . Ou seja, não pode existir outra função que satisfaz as mesmas condições sem ser igual a .

Resposta

Existe uma única função inversa que satisfaz e .

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