Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 3 x^2+24 x-y+49=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que representa uma cônica, e a gente precisa identificar qual é essa cônica e fazer um esboço dela. A equação que recebemos é:
3x^2 + 24x - y + 49 = 0
Para resolver isso, vamos usar o método de completamento de quadrados, que é uma técnica bacana para reescrever equações quadráticas de uma forma mais fácil de interpretar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos em 3x^2 + 24x = y - 49 e os demais termos. Vamos deixar os termos com de um lado e os outros do outro lado:

Passo 3

Agora, vamos focar nos termos que têm 3(x^2 + 8x) = y - 49 . O objetivo aqui é completar o quadrado para transformar essa parte da equação em um quadrado perfeito. Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de 3(x^2 + 8x + 16 - 16) = y - 49 , que é 3:
3((x + 4)^2 - 16) = y - 49
Dentro do parênteses, temos . Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de . Aqui, o coeficiente de é 8, então a metade é 4, e o quadrado disso é 16.
Isso transforma o que está dentro do parênteses em:

Passo 4

Vamos distribuir o 3 de volta e simplificar a equação:
3(x + 4)^2 - 48 = y - 49
Agora, vamos isolar 3(x + 4)^2 - 48 + 49 = y :
3(x + 4)^2 + 1 = y
y = 3(x + 4)^2 + 1
Então, a equação ficou:

Passo 5

Comparando essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical:
y = a(x - h)^2 + k
Podemos ver que:
  • (isso indica que a parábola abre para cima e é mais estreita que a padrão)
  • (a coordenada do vértice)
  • (a coordenada do vértice)
Então, o vértice da parábola é . Como é positivo, a parábola abre para cima.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma parábola com vértice em . O esboço dessa parábola abre para cima e está mais estreita que a parábola padrão devido ao coeficiente .

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