Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que representa uma cônica, e a gente precisa identificar qual é essa cônica e fazer um esboço dela. A equação que recebemos é:
Para resolver isso, vamos usar o método de completamento de quadrados, que é uma técnica bacana para reescrever equações quadráticas de uma forma mais fácil de interpretar.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos em
e os demais termos. Vamos deixar os termos com
de um lado e os outros do outro lado:
Passo 3
Agora, vamos focar nos termos que têm
. O objetivo aqui é completar o quadrado para transformar essa parte da equação em um quadrado perfeito. Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de
, que é 3:
Dentro do parênteses, temos
. Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de
. Aqui, o coeficiente de
é 8, então a metade é 4, e o quadrado disso é 16.
Isso transforma o que está dentro do parênteses em:
Passo 4
Vamos distribuir o 3 de volta e simplificar a equação:
Agora, vamos isolar
:
Então, a equação ficou:
Passo 5
Comparando essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical:
Podemos ver que:
-
(isso indica que a parábola abre para cima e é mais estreita que a padrão) -
(a coordenada do vértice) -
(a coordenada do vértice)
Então, o vértice da parábola é
. Como
é positivo, a parábola abre para cima.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma parábola com vértice em
. O esboço dessa parábola abre para cima e está mais estreita que a parábola padrão devido ao coeficiente
.