Se Omega=1,2, ldots, n então denotamos por Sn=f: Omega Omega: f bijetiva . Os elementos sigma de Sn são também chamados de permutações de Omega. Prove que: Sn é um conjunto contendo n ! elementos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um conjunto Omega = 1, 2, ldots, n e Sn é o conjunto de todas as funções bijetivas de Omega para Omega. Essas funções são chamadas de permutações de Omega. O objetivo é provar que o conjunto Sn contém exatamente n! elementos. Para resolver isso, precisamos entender o que são funções bijetivas e como contar o número de permutações possíveis.

Passo 2

Uma função bijetiva é uma função que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são cobertos). No contexto de permutações, isso significa que estamos rearranjando os elementos de Omega de forma que cada elemento apareça exatamente uma vez na nova ordem.

Passo 3

Para contar o número de permutações de Omega, pensamos no processo de arranjar n elementos em uma ordem específica. O primeiro elemento pode ser qualquer um dos n disponíveis. Depois de escolher o primeiro elemento, restam n-1 opções para o segundo lugar, n-2 para o terceiro, e assim por diante, até que reste apenas 1 opção para o último lugar.

Passo 4

Matematicamente, o número total de permutações é o produto dessas escolhas:
n times (n-1) times (n-2) times ldots times 2 times 1 = n!
Aqui, n! (lê-se “n fatorial”) representa exatamente esse produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n.

Passo 5

Como cada permutação corresponde a uma função bijetiva única em Sn e temos n! maneiras diferentes de organizar os elementos de Omega, concluímos que o conjunto Sn contém exatamente n! elementos.

Resposta

Portanto, Sn é um conjunto que contém exatamente n! elementos.

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