Se
então denotamos por
bijetiva
. Os elementos
de
são também chamados de permutações de
. Prove que:
é um conjunto contendo
! elementos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um conjunto
e
é o conjunto de todas as funções bijetivas de
para
. Essas funções são chamadas de permutações de
. O objetivo é provar que o conjunto
contém exatamente
elementos. Para resolver isso, precisamos entender o que são funções bijetivas e como contar o número de permutações possíveis.
Passo 2
Uma função bijetiva é uma função que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são cobertos). No contexto de permutações, isso significa que estamos rearranjando os elementos de
de forma que cada elemento apareça exatamente uma vez na nova ordem.
Passo 3
Para contar o número de permutações de
, pensamos no processo de arranjar
elementos em uma ordem específica. O primeiro elemento pode ser qualquer um dos
disponíveis. Depois de escolher o primeiro elemento, restam
opções para o segundo lugar,
para o terceiro, e assim por diante, até que reste apenas 1 opção para o último lugar.
Passo 4
Matematicamente, o número total de permutações é o produto dessas escolhas:
Aqui,
(lê-se “n fatorial”) representa exatamente esse produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
.
Passo 5
Como cada permutação corresponde a uma função bijetiva única em
e temos
maneiras diferentes de organizar os elementos de
, concluímos que o conjunto
contém exatamente
elementos.
Resposta
Portanto,
é um conjunto que contém exatamente
elementos.