Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar e esboçar a cônica definida pela equação
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre as cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole). Para resolver isso, vamos precisar usar o completamento do quadrado, que é uma técnica para reescrever a equação de forma mais clara e identificar o tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos separar os termos com
e os termos com
:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes que acompanham
e
para preparar o completamento do quadrado:
Aqui, colocamos os termos de
dentro dos parênteses para facilitar o próximo passo.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, tomamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar os termos completos na equação:
Agora, dividimos todos os termos por 70 para deixar a equação na forma padrão das cônicas:
Passo 6
Observando a forma obtida, reconhecemos que a equação representa uma elipse, já que os termos de
e
têm sinais iguais e diferentes dos das hipérboles.
Passo 7
Para esboçar a elipse, identificamos o centro, os semi-eixos e orientações:
- Centro:
- Semi-eixo maior:
unidades na direção do eixo - Semi-eixo menor:
unidades na direção do eixo
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
, semi-eixo maior de aproximadamente 3,16 unidades verticalmente e semi-eixo menor de aproximadamente 2,65 unidades horizontalmente. O esboço dessa elipse ficaria centrado nesse ponto, alongado no eixo vertical.