Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 10 x^2+7 y^2+42 y-7=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar e esboçar a cônica definida pela equação 10 x^2+7 y^2+42 y-7=0. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre as cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole). Para resolver isso, vamos precisar usar o completamento do quadrado, que é uma técnica para reescrever a equação de forma mais clara e identificar o tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos separar os termos com x e os termos com y:
10x^2 + 7y^2 + 42y = 7

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes que acompanham x^2 e y^2 para preparar o completamento do quadrado:
10x^2 + 7(y^2 + 6y) = 7
Aqui, colocamos os termos de y dentro dos parênteses para facilitar o próximo passo.

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de y. Para isso, tomamos o coeficiente de y, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(62)^2 = 9
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
10x^2 + 7(y^2 + 6y + 9 - 9) = 7
Simplificando:
10x^2 + 7(y + 3)^2 - 63 = 7

Passo 5

Vamos isolar os termos completos na equação:
10x^2 + 7(y + 3)^2 = 70
Agora, dividimos todos os termos por 70 para deixar a equação na forma padrão das cônicas:
x^27 + (y + 3)^210 = 1

Passo 6

Observando a forma obtida, reconhecemos que a equação representa uma elipse, já que os termos de x^2 e y^2 têm sinais iguais e diferentes dos das hipérboles.

Passo 7

Para esboçar a elipse, identificamos o centro, os semi-eixos e orientações:
  • Centro: (0, -3)
  • Semi-eixo maior: raiz10 approx 3,16 unidades na direção do eixo y
  • Semi-eixo menor: raiz7 approx 2,65 unidades na direção do eixo x

Resposta

A equação 10 x^2+7 y^2+42 y-7=0 representa uma elipse com centro em (0, -3), semi-eixo maior de aproximadamente 3,16 unidades verticalmente e semi-eixo menor de aproximadamente 2,65 unidades horizontalmente. O esboço dessa elipse ficaria centrado nesse ponto, alongado no eixo vertical.

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