Podemos afirmar que
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras: quando
não é
, ela é igual a
, e quando
, ela é igual a 0. A pergunta é: essa função é diferenciável em
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, continuidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, a gente precisa ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo:
O limite depende de
, ou seja, ele não é único. Por exemplo, se
, temos
, e se
, temos 0. Como o limite depende do caminho, ele não existe.
Passo 4
Já que o limite de
quando
não é único, a função não é contínua em
. E como a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, podemos concluir que
não é diferenciável em
.
Resposta
Não, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
106)
106)
Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
. Calcule
.
Resolva as equações usando a transformada de Laplace:
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.: