f(x, y) = { (x*y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
Podemos afirmar que f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: quando não é , ela é igual a , e quando , ela é igual a 0. A pergunta é: essa função é diferenciável em ? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, continuidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, a gente precisa ver se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Podemos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo:
O limite depende de , ou seja, ele não é único. Por exemplo, se , temos , e se , temos 0. Como o limite depende do caminho, ele não existe.

Passo 4

Já que o limite de quando não é único, a função não é contínua em . E como a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, podemos concluir que não é diferenciável em .

Resposta

Não, a função não é diferenciável em .

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