Resolva as equações usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
A matéria que vamos precisar aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Basicamente, ela transforma uma equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde fica mais fácil de resolver. Depois, a gente transforma de volta para encontrar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E para o lado direito:
Passo 3
Substituindo as transformadas na equação:
Como as condições iniciais são
e
, simplificamos para:
Assim:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Para resolver para
, dividimos os dois lados por
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Observamos que:
Podemos usar a decomposição em frações parciais ou reconhecer uma forma padrão. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Usando integração por partes ou uma tabela de integrais, sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando:
Resposta
A solução da equação é:
Exercícios relacionados
Podemos afirmar que
é diferenciável em
?
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
106)
106)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
5)
5)