Resolva as equações usando a transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
A matéria que vamos precisar aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Basicamente, ela transforma uma equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde fica mais fácil de resolver. Depois, a gente transforma de volta para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E para o lado direito:

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação:
Como as condições iniciais são e , simplificamos para:
Assim:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Sabemos que:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Para resolver para , dividimos os dois lados por :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então:

Passo 7

Para encontrar , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Observamos que:
Podemos usar a decomposição em frações parciais ou reconhecer uma forma padrão. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Usando integração por partes ou uma tabela de integrais, sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando:

Resposta

A solução da equação é:

Exercícios relacionados

Podemos afirmar que é diferenciável em ?
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
106)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
5)