Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Encontramos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea será:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 9
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para o termo constante:
Passo 10
Com os valores encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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é diferenciável em
?
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5)
5)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.: