Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: y''/4 + y' + y = x^2 - 2x Resp.: y = c1 cos(x) + c2 sen(x) + 1/2 - cos(2x)/6

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo y por :

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Encontramos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea será:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor uma solução particular da forma:
onde A, B e C são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando os termos:

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 9

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para x^2:
  2. Para x:
  3. Para o termo constante:

Passo 10

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

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