Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
106) integral d xraiz1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxraiz1+x^2. Esse exercício está dentro do tópico de cálculo de integrais, mais especificamente, integrais envolvendo funções trigonométricas ou substituições. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da nossa integral: 1raiz1+x^2. Isso se parece com a forma padrão 1raiz1+tan^2theta, que sabemos que está relacionada ao seno e cosseno.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir x = tantheta. Assim, dx = sec^2theta dtheta. Vamos substituir essas expressões na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral dxraiz1+x^2 = integral sec^2theta dthetaraiz1+tan^2theta
Sabemos que 1 + tan^2theta = sec^2theta, portanto:
integral sec^2theta dthetaraizsec^2theta = integral sec^2theta dthetasectheta = integral sectheta dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar sectheta. A integral de sectheta é conhecida e é igual a ln|sectheta + tantheta| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Então, voltando à nossa substituição original ( x = tantheta), temos que sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + x^2 e tantheta = x. Substituindo de volta, obtemos:
ln|raiz1 + x^2 + x| + C

Resposta

A integral é igual a ln(x + raiz1 + x^2) + C.

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