Se . Mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que esse exercício está pedindo. A gente tem uma função e queremos mostrar que . Isso envolve conceitos de funções e substituição de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar substituir os valores na função e simplificar as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por e por na função dada. Então temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 4

O denominador é:
Então, a expressão completa de fica:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador para simplificar a fração:
Agora, substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Observamos que é exatamente . Então, temos:

Resposta

foi demonstrado com sucesso.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Dê a solução geral da equação considerando que é uma solução da equação homogênea associada.
Se está definida por para todos os valores de e , encontre:
Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante). ;