Dê a solução geral da equação considerando que é uma solução da equação homogênea associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí: . A gente sabe que é uma solução da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo da direita, que é o 1). Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação diferencial, que inclui tanto as soluções da parte homogênea quanto uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo todos os termos por , a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sabemos que uma solução da parte homogênea é . Agora, precisamos encontrar uma segunda solução independente da homogênea para completar a solução geral da parte homogênea.

Passo 3

Para encontrar a segunda solução , usamos o método de redução de ordem. Assumimos que , onde é uma função que vamos determinar. Então, temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo isso na equação homogênea:
Agora, podemos simplificar dividindo por :
Isso é uma equação diferencial para . Vamos chamar , então temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para . Podemos resolver usando fator integrante.

Passo 4

Calculando o fator integrante ( ):
Multiplicamos a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , então:
Integrando novamente:
Podemos omitir a constante porque já está incluída na solução geral. Portanto:
Então, a segunda solução é:
Podemos simplificar definindo uma nova constante :

Passo 5

Agora que temos as duas soluções da parte homogênea, e , a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa com o lado direito igual a 1. Vamos assumir que é constante, ou seja, , onde é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação original:
Mas isso depende de , o que contradiz nossa suposição de que é constante. Portanto, precisamos tentar outra forma.
Vamos assumir que . Substituindo na equação e encontrando e .
Após tentar, descobrimos que uma escolha adequada para é .

Passo 7

Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos combinar os termos com :
Mas como é uma constante arbitrária, podemos redefinir , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
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Se . Mostrar que: