Dê a solução geral da equação
considerando que
é uma solução da equação homogênea associada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí:
. A gente sabe que
é uma solução da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo da direita, que é o 1). Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação diferencial, que inclui tanto as soluções da parte homogênea quanto uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo todos os termos por
, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sabemos que uma solução da parte homogênea é
. Agora, precisamos encontrar uma segunda solução independente da homogênea para completar a solução geral da parte homogênea.
Passo 3
Para encontrar a segunda solução
, usamos o método de redução de ordem. Assumimos que
, onde
é uma função que vamos determinar. Então, temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo isso na equação homogênea:
Agora, podemos simplificar dividindo por
:
Isso é uma equação diferencial para
. Vamos chamar
, então temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando fator integrante.
Passo 4
Calculando o fator integrante (
):
Multiplicamos a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, então:
Integrando novamente:
Podemos omitir a constante
porque já está incluída na solução geral. Portanto:
Então, a segunda solução é:
Podemos simplificar definindo uma nova constante
:
Passo 5
Agora que temos as duas soluções da parte homogênea,
e
, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa com o lado direito igual a 1. Vamos assumir que
é constante, ou seja,
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo
na equação original:
Mas isso depende de
, o que contradiz nossa suposição de que
é constante. Portanto, precisamos tentar outra forma.
Vamos assumir que
. Substituindo na equação e encontrando
e
.
Após tentar, descobrimos que uma escolha adequada para
é
.
Passo 7
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos combinar os termos com
:
Mas como
é uma constante arbitrária, podemos redefinir
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
.
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Se
. Mostrar que: