Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem, resolver a equação homogênea associada e aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é
. Resolvendo para
:
Como temos raízes imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Nesse método, assumimos que a solução particular
é uma combinação das soluções da homogênea, mas com coeficientes que variam no tempo:
Nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos derivar
:
Impondo a condição para simplificar os cálculos, assumimos que:
E então substituímos
na equação original para encontrar uma expressão para
.
Após substituir e simplificar, chegamos a um sistema de equações para
e
:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Integrando ambos os lados:
Desconsiderando as constantes de integração (pois já estão inclusas na solução homogênea), temos:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando, percebemos que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Dê a solução geral da equação
considerando que
é uma solução da equação homogênea associada.
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Se
. Mostrar que:
Se
está definida por
para todos os valores de
e
, encontre: