Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação no intervalo . Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem, resolver a equação homogênea associada e aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

A equação característica para é . Resolvendo para :
Como temos raízes imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Nesse método, assumimos que a solução particular é uma combinação das soluções da homogênea, mas com coeficientes que variam no tempo:
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 5

Para encontrar e , precisamos derivar :
Impondo a condição para simplificar os cálculos, assumimos que:
E então substituímos na equação original para encontrar uma expressão para .
Após substituir e simplificar, chegamos a um sistema de equações para e :
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Integrando ambos os lados:
Desconsiderando as constantes de integração (pois já estão inclusas na solução homogênea), temos:

Passo 6

Substituindo e na expressão de :
Simplificando, percebemos que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Dê a solução geral da equação considerando que é uma solução da equação homogênea associada.
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Se . Mostrar que:
Se está definida por para todos os valores de e , encontre: