Se é a altura de uma montanha na posição , em que direção, partindo de se deveria caminhar para subir a montanha mais rapidamente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função que representa a altura de uma montanha na posição . A questão quer saber em qual direção devemos caminhar a partir do ponto para subir a montanha da forma mais rápida possível.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Calcular o gradiente da função .
O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Vamos encontrar essas derivadas.
Então, o gradiente é:

Passo 3

Avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Determinar a direção de ascensão mais rápida.
A direção de máxima subida é exatamente a direção do gradiente. No nosso caso, o gradiente é , o que indica que a subida mais rápida ocorre na direção do eixo negativo .
Para obter uma vetor unitário (direção pura), vamos normalizar o gradiente:
çãá

Resposta

A direção de ascensão mais rápida a partir do ponto é na direção negativa do eixo , ou seja, para a esquerda.

Exercícios relacionados

Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto e direção indicados. e
Seja . Sendo , calcule . Existe para algum ? Justifique.
Em cada um dos problemas de 11 a 16 , verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.
Calcule aproximadamente