Se é a altura de uma montanha na posição , em que direção, partindo de se deveria caminhar para subir a montanha mais rapidamente?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função que representa a altura de uma montanha na posição . A questão quer saber em qual direção devemos caminhar a partir do ponto para subir a montanha da forma mais rápida possível.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Calcular o gradiente da função .
O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Vamos encontrar essas derivadas.
Então, o gradiente é:
Passo 3
Avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Determinar a direção de ascensão mais rápida.
A direção de máxima subida é exatamente a direção do gradiente. No nosso caso, o gradiente é , o que indica que a subida mais rápida ocorre na direção do eixo negativo .
Para obter uma vetor unitário (direção pura), vamos normalizar o gradiente:
çãá
Resposta
A direção de ascensão mais rápida a partir do ponto é na direção negativa do eixo , ou seja, para a esquerda.