se
é contínua em
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente para pontos diferentes. Queremos descobrir se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de limites de funções de várias variáveis e continuidade.
Passo 2
Para verificar a continuidade em
, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 3
Vamos calcular o limite usando coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 4
Observamos que o limite depende de
, ou seja, depende do caminho pelo qual
se aproxima de
. Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo x), então e . - Se
(caminho com inclinação 45°), então e .
Passo 5
Como o limite depende do valor de
e não é único, concluímos que o limite de
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite não existe.
Exercícios relacionados
Seja
. Qual o valor aproximado para a variação da função
quando
passa de
2 para
e
para
?
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Seja
. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
com o plano
, no ponto
. Faça um desenho da situação.
Linearização: .
Linearização:
Se
. seny;
. Calcule
.