se é contínua em ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente para pontos diferentes. Queremos descobrir se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar dos conceitos de limites de funções de várias variáveis e continuidade.

Passo 2

Para verificar a continuidade em , precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , onde é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 4

Observamos que o limite depende de , ou seja, depende do caminho pelo qual se aproxima de . Por exemplo:
  • Se (caminho ao longo do eixo x), então e .
  • Se (caminho com inclinação 45°), então e .

Passo 5

Como o limite depende do valor de e não é único, concluímos que o limite de quando se aproxima de não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja . Qual o valor aproximado para a variação da função quando passa de 2 para e para ?
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Seja . Encontrar a inclinação da reta tangente à curva , resultante da intersecção de com o plano , no ponto . Faça um desenho da situação.
Linearização: .
Se . seny; . Calcule .