Seja z = 6 - x^2 - y^2. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C1, resultante da intersecção de f com o plano y = 1, no ponto P(2,1,1). Faça um desenho da situação.
Linearização: z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar a inclinação da reta tangente à curva , que é onde essa superfície cruza o plano , no ponto . Vamos usar cálculo, especificamente derivadas parciais, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Como ela é a intersecção da superfície com o plano , podemos substituir por 1 na equação da superfície:
Então, a curva é dada por quando .

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente nesse ponto, precisamos da derivada de em relação a na curva . A derivada nos dá a inclinação da tangente.
Derivando em relação a :

Passo 4

No ponto , o valor de é 2. Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é -4.

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto é .

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