Se z=e^x. seny; x=u v^2 ; y=u^2 v. Calcule partial zpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a derivada parcial de em relação a . A gente tem que usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções compostas, já que depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
z = e^x cdot sin(y)
onde
x = u cdot v^2
y = u^2 cdot v
Queremos encontrar , ou seja, como muda quando muda, mantendo constante.

Passo 3

Para achar partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
Isso significa que calculamos as derivadas de em relação a e , e depois multiplicamos pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. partial zpartial x = partialpartial x ( e^x cdot sin(y) ) = e^x cdot sin(y) :
partial xpartial v = partialpartial v ( u cdot v^2 ) = 2u cdot v
  1. partial zpartial y = partialpartial y ( e^x cdot sin(y) ) = e^x cdot cos(y) :
partial ypartial v = partialpartial v ( u^2 cdot v ) = u^2
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial v = ( e^x cdot sin(y) ) cdot ( 2u cdot v ) + ( e^x cdot cos(y) ) cdot ( u^2 )
Simplificando:
partial zpartial v = 2u v e^x sin(y) + u^2 e^x cos(y)

Passo 6

Podemos fatorar partial zpartial v = e^x ( 2u v sin(y) + u^2 cos(y) ) para deixar a expressão mais limpa:

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial v = e^x ( 2u v sin(y) + u^2 cos(y) ) em relação a ��:

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