Se
.
. Determine
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a
no ponto específico onde
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de derivadas parciais, uso da regra da cadeia e propriedades de funções compostas.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre derivadas parciais.
- Aplicação da regra da cadeia para funções compostas.
- Derivadas de funções básicas como potências, logaritmos e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Queremos encontrar
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, mantendo
constante, e depois substituir
e
.
Passo 3
Vamos derivar a função
em relação a
. A função é composta por duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Derivada da primeira parte:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base variável:
Aqui, usamos a regra da cadeia e a regra do logaritmo para derivar exponenciais com expoentes que são funções de
.
Passo 5
Derivada da segunda parte:
Observe que
depende apenas de
, que é constante em relação a
. Portanto, ao derivar em relação a
, podemos tratar
como uma constante.
Vamos chamar a parte dentro da arctangente de
:
A derivada de
em relação a
é:
Vamos aplicar isso repetidamente para cada camada de arctangente.
Passo 6
Vamos derivar
em relação a
:
Primeiro, definimos níveis para simplificar:
Agora, vamos derivar cada
em relação a
usando a regra da cadeia.
Passo 7
Derivando
:
A derivada de
em relação a
:
Usamos aqui a regra da cadeia para derivar a função seno e as funções internas
e
.
Passo 8
Derivando
:
A derivada de
em relação a
:
Usamos a derivada da arctangente que mencionamos anteriormente.
Passo 9
Derivando
:
A derivada de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da derivada da arctangente.
Passo 10
Derivando
:
A derivada de
em relação a
:
Passo 11
Voltando à derivada completa da segunda parte:
Passo 12
Agora, juntando as duas partes derivadas:
Passo 13
Finalmente, substituímos
e
na expressão da derivada:
Sabendo que
, muitos termos vão simplificar:
Simplificando:
Resposta
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Seja
. Determine, caso existam, os pontos de máximo local, mínimo local e sela.