Se f(x, y)=y^2 x^y+(ln x)^7(arctg(arctg(arctg(sen(cos (xy)-ln (x+y))))). x>0. Determine partial fpartial y(1, b), b in R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a no ponto específico onde e .
Matéria envolvida: Cálculo de derivadas parciais, uso da regra da cadeia e propriedades de funções compostas.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre derivadas parciais.
  • Aplicação da regra da cadeia para funções compostas.
  • Derivadas de funções básicas como potências, logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Queremos encontrar f(x, y) = y^2x^y + (ln x)^7 cdot arctg ( arctg ( arctg ( sen ( cos(xy) - ln(x + y) ) ) ) ) . Isso significa que vamos derivar em relação a , mantendo constante, e depois substituir e .

Passo 3

Vamos derivar a função em relação a . A função é composta por duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Derivada da primeira parte: partialpartial y y^2x^y = y^2x^y ( 2x^yy + 2x^y ln y cdot ln x )
Para derivar em relação a , usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base variável:
Aqui, usamos a regra da cadeia e a regra do logaritmo para derivar exponenciais com expoentes que são funções de .

Passo 5

Derivada da segunda parte: u = arctg ( arctg ( arctg ( sen ( cos(xy) - ln(x + y) ) ) ) )
Observe que ddy arctg(u) = 11 + u^2 cdot dudy depende apenas de , que é constante em relação a . Portanto, ao derivar em relação a , podemos tratar como uma constante.
Vamos chamar a parte dentro da arctangente de :
A derivada de em relação a é:
Vamos aplicar isso repetidamente para cada camada de arctangente.

Passo 6

Vamos derivar u1 = sen ( cos(xy) - ln(x + y) ) em relação a u2 = arctg(u1) :
Primeiro, definimos níveis para simplificar:
u3 = arctg(u2)
u = arctg(u3)
Agora, vamos derivar cada em relação a usando a regra da cadeia.

Passo 7

Derivando u1 = sen ( cos(xy) - ln(x + y) ) :
A derivada de du1dy = cos ( cos(xy) - ln(x + y) ) cdot ( -sen(xy) cdot x - 1x + y ) em relação a :
Usamos aqui a regra da cadeia para derivar a função seno e as funções internas e .

Passo 8

Derivando u2 = arctg(u1) :
du2dy = 11 + u1^2 cdot du1dy
A derivada de em relação a :
Usamos a derivada da arctangente que mencionamos anteriormente.

Passo 9

Derivando u3 = arctg(u2) :
du3dy = 11 + u2^2 cdot du2dy
A derivada de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da derivada da arctangente.

Passo 10

Derivando u = arctg(u3) :
dudy = 11 + u3^2 cdot du3dy
A derivada de em relação a :

Passo 11

Voltando à derivada completa da segunda parte:
partialpartial y ( (ln x)^7 cdot arctg(u) ) = (ln x)^7 cdot 11 + u^2 cdot dudy

Passo 12

Agora, juntando as duas partes derivadas:
partial fpartial y = y^2x^y ( 2x^yy + 2x^y ln y cdot ln x ) + (ln x)^7 cdot 11 + u^2 cdot dudy

Passo 13

Finalmente, substituímos partial fpartial y(1, b) = b^2 cdot 1^b ( 2 cdot 1^bb + 2 cdot 1^b ln b cdot 0 ) + 0^7 cdot (restante da expressão) e partial fpartial y(1, b) = 2 cdot b^2b = 2b na expressão da derivada:
Sabendo que , muitos termos vão simplificar:
ã
Simplificando:

Resposta

partial fpartial y(1, b) = 2b

Exercícios relacionados

Determine a derivada das seguintes funções: H(x)=integral2^x sen tt d t, Resposta: H^prime(x)=sen xx
Determine a derivada das seguintes funções: F(x)=integralx^3 e^-t^2 d t, Resposta: F^prime(x)=-e^-x^2
Determine a derivada das seguintes funções: H(x)=x^2 integral0^x^2 sen uu d u, Resposta: H^prime(x)=2 x integral0^x^2 sen uu d u+2 x sen(x^2)
Seja f(x, y) = 3 x e^(y) - x^3 - e^(3 y). Determine, caso existam, os pontos de máximo local, mínimo local e sela.