Na ilustração a seguir, um cofre de massa 430kg é suspenso em uma viga de massa 85 kg, que por sua vez está presa em uma parede por um cabo na horizontal e por uma dobradiça. A distância vertical entre a dobradiça e o ponto de fixação do cabo é a=1,9m enquanto a distância horizontal entre a extremidade da viga e a parede é de
. Qual é o valor da força de tensão no cabo e das componentes horizontal e vertical na viga, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cofre de 430 kg pendurado em uma viga de 85 kg. Essa viga está presa na parede por uma dobradiça e por um cabo horizontal. Queremos descobrir a força de tensão no cabo e as componentes horizontal e vertical das forças na viga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, que estuda o equilíbrio de corpos. Precisaremos aplicar as equações de equilíbrio de forças e de momentos (torques).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na viga:
- Peso do cofre (P₁): Calculado por
, onde e . - Peso da viga (P₂): Calculado por
, onde . - Força de tensão no cabo (T): Esta força tem componentes horizontal (Tₓ) e vertical (Tᵧ).
- Forças na dobradiça (H e V): Componentes horizontal (H) e vertical (V) das reações na dobradiça.
Passo 3
Vamos calcular os pesos:
Passo 4
Agora, vamos estabelecer as equações de equilíbrio. Para um corpo em equilíbrio:
- Soma das forças horizontais (ΣFₓ) = 0
- Soma das forças verticais (ΣFᵧ) = 0
- Soma dos momentos (ΣM) = 0
Passo 5
Vamos definir o ponto de rotação. É conveniente escolher a dobradiça como ponto de referência para calcular os momentos, pois assim as forças na dobradiça não entram na equação, facilitando os cálculos.
Passo 6
Calculando os momentos em relação à dobradiça:
- O peso do cofre atua na extremidade da viga, a uma distância horizontal de b = 2,5 m.
- O peso da viga atua no centro da viga, a uma distância de b/2 = 1,25 m.
- A tensão no cabo tem uma distância vertical a = 1,9 m da dobradiça.
A equação dos momentos fica:
Passo 7
Substituindo os valores:
Calculando:
Agora, isolando
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
. Sabemos que o cabo está na horizontal, então a relação entre
e
é dada pela tangente do ângulo
:
Mas como o cabo é horizontal, o ângulo
é de 0°, o que significa que
. No entanto, isso não faz sentido físico, então devemos reconsiderar.
Na verdade, o cabo não é totalmente horizontal; ele tem uma inclinação. Para encontrar
, precisamos considerar que a soma das forças horizontais deve ser zero:
Então,
Passo 9
Vamos agora usar a soma das forças verticais:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando:
O sinal negativo indica que a força vertical na dobradiça está direcionada para baixo.
Passo 10
Agora, vamos revisar as forças horizontais. Como não há outras forças horizontais além de
e
, e considerando que o cabo tem uma componente horizontal, podemos relacionar
e
diretamente.
Dado que
e considerando que o cabo está inclinado, precisamos calcular
com base na geometria do problema.
No entanto, para simplificar, assumindo que o cabo é horizontal,
e
, o que contraria nossos resultados anteriores. Portanto, devemos considerar que o cabo possui ângulo, e as componentes
e
são relacionadas pela distância a.
A relação geométrica é dada por:
Passo 11
Usando a relação geométrica:
Resolvendo para
:
Passo 12
Então, temos:
- Força de tensão no cabo,
, pode ser calculada usando Pythagoras:
Resposta
A força de tensão no cabo é aproximadamente 9999 N, a componente horizontal na viga é 8032 N e a componente vertical na viga é -1057 N.