Na ilustração a seguir, um cofre de massa 430kg é suspenso em uma viga de massa 85 kg, que por sua vez está presa em uma parede por um cabo na horizontal e por uma dobradiça. A distância vertical entre a dobradiça e o ponto de fixação do cabo é a=1,9m enquanto a distância horizontal entre a extremidade da viga e a parede é de b=2,5 m. Qual é o valor da força de tensão no cabo e das componentes horizontal e vertical na viga, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cofre de 430 kg pendurado em uma viga de 85 kg. Essa viga está presa na parede por uma dobradiça e por um cabo horizontal. Queremos descobrir a força de tensão no cabo e as componentes horizontal e vertical das forças na viga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, que estuda o equilíbrio de corpos. Precisaremos aplicar as equações de equilíbrio de forças e de momentos (torques).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na viga:
  1. Peso do cofre (P₁): Calculado por , onde e ².
  2. Peso da viga (P₂): Calculado por , onde .
  3. Força de tensão no cabo (T): Esta força tem componentes horizontal (Tₓ) e vertical (Tᵧ).
  4. Forças na dobradiça (H e V): Componentes horizontal (H) e vertical (V) das reações na dobradiça.

Passo 3

Vamos calcular os pesos:
  • ²
  • ²

Passo 4

Agora, vamos estabelecer as equações de equilíbrio. Para um corpo em equilíbrio:
  1. Soma das forças horizontais (ΣFₓ) = 0
  2. Soma das forças verticais (ΣFᵧ) = 0
  3. Soma dos momentos (ΣM) = 0

Passo 5

Vamos definir o ponto de rotação. É conveniente escolher a dobradiça como ponto de referência para calcular os momentos, pois assim as forças na dobradiça não entram na equação, facilitando os cálculos.

Passo 6

Calculando os momentos em relação à dobradiça:
  • O peso do cofre atua na extremidade da viga, a uma distância horizontal de b = 2,5 m.
  • O peso da viga atua no centro da viga, a uma distância de b/2 = 1,25 m.
  • A tensão no cabo tem uma distância vertical a = 1,9 m da dobradiça.
A equação dos momentos fica:

Passo 7

Substituindo os valores:
Calculando:
Agora, isolando :

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar . Sabemos que o cabo está na horizontal, então a relação entre e é dada pela tangente do ângulo :
Mas como o cabo é horizontal, o ângulo é de 0°, o que significa que . No entanto, isso não faz sentido físico, então devemos reconsiderar.
Na verdade, o cabo não é totalmente horizontal; ele tem uma inclinação. Para encontrar , precisamos considerar que a soma das forças horizontais deve ser zero:
Então,

Passo 9

Vamos agora usar a soma das forças verticais:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando:
O sinal negativo indica que a força vertical na dobradiça está direcionada para baixo.

Passo 10

Agora, vamos revisar as forças horizontais. Como não há outras forças horizontais além de e , e considerando que o cabo tem uma componente horizontal, podemos relacionar e diretamente.
Dado que e considerando que o cabo está inclinado, precisamos calcular com base na geometria do problema.
No entanto, para simplificar, assumindo que o cabo é horizontal, e , o que contraria nossos resultados anteriores. Portanto, devemos considerar que o cabo possui ângulo, e as componentes e são relacionadas pela distância a.
A relação geométrica é dada por:

Passo 11

Usando a relação geométrica:
Resolvendo para :

Passo 12

Então, temos:
  • Força de tensão no cabo, , pode ser calculada usando Pythagoras:
²²²²

Resposta

A força de tensão no cabo é aproximadamente 9999 N, a componente horizontal na viga é 8032 N e a componente vertical na viga é -1057 N.

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