Se
, determine
. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem
. Isso significa que vamos primeiro derivar em relação a
, depois em relação a
duas vezes. Vamos usar as regras de derivação de funções polinomiais e funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é composta por duas partes:
e . Vamos derivar cada parte separadamente.
Para
, a derivada em relação a
é simplesmente
, pois
e
são tratados como constantes.
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Então, a derivada de em relação a
é
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja, encontrar
.
Temos:
Derivando termo a termo:
-
A derivada de
em relação a é . -
A segunda parte
não depende de , então a derivada em relação a é 0.
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos derivar
em relação a
novamente, para encontrar
.
Temos:
A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é tratado como constante.
Portanto:
Resposta
A derivada parcial
é igual a
.
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