Se f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 + arcsen(x * raiz(z)), determine f_xyy. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem . Isso significa que vamos primeiro derivar em relação a , depois em relação a duas vezes. Vamos usar as regras de derivação de funções polinomiais e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é composta por duas partes: e . Vamos derivar cada parte separadamente.
Para , a derivada em relação a é simplesmente , pois e são tratados como constantes.
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e então multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
Então, a derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, encontrar .
Temos:
Derivando termo a termo:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A segunda parte não depende de , então a derivada em relação a é 0.
Portanto:

Passo 4

Finalmente, vamos derivar em relação a novamente, para encontrar .
Temos:
A derivada de em relação a é simplesmente , já que é tratado como constante.
Portanto:

Resposta

A derivada parcial é igual a .

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