Sejam V1, ldots, Vn espaços vetoriais sobre F e V=prodi=1^n Vi. Mostre que se u=(x1, ldots, xn) in V e v=(y1, ldots, yn) in V, então V, munido com as operaçães de adição
u oplus v=(x1+y1, ldots, xn+yn)
e multiplicação por escalar
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é um espaço vetorial sobre F e chama-se soma direta externa dos espaços Vi e denotamos por V1 otimes cdots otimes Vn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais u oplus v = (x1 + y1, ldots, xn + yn) sobre um campo e o produto direto desses espaços, que é . A gente precisa mostrar que , com as operações de adição definida por
e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre . Basicamente, vamos provar que cumpre todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial, usando como base as propriedades dos espaços .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem oito axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc. Então, nosso objetivo é verificar se com as operações dadas cumpre esses axiomas.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: a associatividade da adição. Queremos ver se para quaisquer vetores (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w) , vale que
Como a adição é feita componente a componente, isso se reduz a verificar a associatividade em cada espaço , que já sabemos que é válida porque cada é um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos checar a comutatividade da adição. Precisamos ver se para quaisquer u oplus v = v oplus u ,
Isso também se mantém válida, já que em cada componente , graças à propriedade comutativa da adição nos espaços .

Passo 5

Vamos verificar agora a existência de um elemento neutro para a adição. Ou seja, existe um vetor u oplus 0 = u tal que para todo ,
O vetor zero em é simplesmente , onde cada é o vetor zero em . Assim, a soma componente a componente não altera .

Passo 6

Agora, precisa existir um inverso aditivo para cada vetor. Ou seja, para cada u oplus (-u) = 0 , existe um tal que
Isso também é verdade, pois em cada componente , existe o inverso aditivo de .

Passo 7

Vamos passar para a multiplicação por escalar. Queremos que para qualquer escalar a cdot u = (a cdot x1, ldots, a cdot xn) in V e qualquer vetor ,
Isso está bem definido porque a multiplicação por escalar é definida em cada , garantindo que o resultado esteja dentro de .

Passo 8

Precisamos também verificar que a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de escalares no campo a cdot (b cdot u) = (ab) cdot u , ou seja,
Isso se mantém válido, já que para cada componente isso é verdade nos espaços .

Passo 9

Outro ponto é a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que
a cdot (u oplus v) = a cdot u oplus a cdot v
Isso também se verifica componente a componente, utilizando a distributividade nos .

Passo 10

Finalmente, a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(a + b) cdot u = a cdot u oplus b cdot u
Isso também funciona componente a componente, já que cada satisfaz essa propriedade.

Resposta

Como verificamos todos os axiomas dos espaços vetoriais para com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, podemos concluir que é realmente um espaço vetorial sobre . Além disso, esse espaço é chamado de soma direta externa dos espaços e é denotado por .

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