Sejam
espaços vetoriais sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
e chama-se soma direta externa dos espaços
e denotamos por
.
é um espaço vetorial sobre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais
sobre um campo
e o produto direto desses espaços, que é
. A gente precisa mostrar que
, com as operações de adição definida por
e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. Basicamente, vamos provar que
cumpre todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial, usando como base as propriedades dos espaços
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
é um conjunto junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem oito axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc. Então, nosso objetivo é verificar se
com as operações dadas cumpre esses axiomas.
Passo 3
Vamos começar verificando o primeiro axioma: a associatividade da adição. Queremos ver se para quaisquer vetores
, vale que
Como a adição é feita componente a componente, isso se reduz a verificar a associatividade em cada espaço
, que já sabemos que é válida porque cada
é um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos checar a comutatividade da adição. Precisamos ver se para quaisquer
,
Isso também se mantém válida, já que em cada componente
, graças à propriedade comutativa da adição nos espaços
.
Passo 5
Vamos verificar agora a existência de um elemento neutro para a adição. Ou seja, existe um vetor
tal que para todo
,
O vetor zero em
é simplesmente
, onde cada
é o vetor zero em
. Assim, a soma componente a componente não altera
.
Passo 6
Agora, precisa existir um inverso aditivo para cada vetor. Ou seja, para cada
, existe um
tal que
Isso também é verdade, pois em cada componente
, existe o inverso aditivo
de
.
Passo 7
Vamos passar para a multiplicação por escalar. Queremos que para qualquer escalar
e qualquer vetor
,
Isso está bem definido porque a multiplicação por escalar é definida em cada
, garantindo que o resultado esteja dentro de
.
Passo 8
Precisamos também verificar que a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de escalares no campo
, ou seja,
Isso se mantém válido, já que para cada componente isso é verdade nos espaços
.
Passo 9
Outro ponto é a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que
Isso também se verifica componente a componente, utilizando a distributividade nos
.
Passo 10
Finalmente, a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Isso também funciona componente a componente, já que cada
satisfaz essa propriedade.
Resposta
Como verificamos todos os axiomas dos espaços vetoriais para
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, podemos concluir que
é realmente um espaço vetorial sobre
. Além disso, esse espaço é chamado de soma direta externa dos espaços
e é denotado por
.
Exercícios relacionados
a)
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
b)
c)
d)
e)
Seja
. Verifique se
munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Calcule o resultado das operações vetoriais abaixo, sendo
e
os vetores
,
e
.
Sejam
qualquer espaço vetorial sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
chama-se complexificação de
. Neste caso,
.