Sejam espaços vetoriais sobre e . Mostre que se , então , munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar

é um espaço vetorial sobre e chama-se soma direta externa dos espaços e denotamos por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais sobre um campo e o produto direto desses espaços, que é . A gente precisa mostrar que , com as operações de adição definida por
e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre . Basicamente, vamos provar que cumpre todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial, usando como base as propriedades dos espaços .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem oito axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc. Então, nosso objetivo é verificar se com as operações dadas cumpre esses axiomas.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: a associatividade da adição. Queremos ver se para quaisquer vetores , vale que
Como a adição é feita componente a componente, isso se reduz a verificar a associatividade em cada espaço , que já sabemos que é válida porque cada é um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos checar a comutatividade da adição. Precisamos ver se para quaisquer ,
Isso também se mantém válida, já que em cada componente , graças à propriedade comutativa da adição nos espaços .

Passo 5

Vamos verificar agora a existência de um elemento neutro para a adição. Ou seja, existe um vetor tal que para todo ,
O vetor zero em é simplesmente , onde cada é o vetor zero em . Assim, a soma componente a componente não altera .

Passo 6

Agora, precisa existir um inverso aditivo para cada vetor. Ou seja, para cada , existe um tal que
Isso também é verdade, pois em cada componente , existe o inverso aditivo de .

Passo 7

Vamos passar para a multiplicação por escalar. Queremos que para qualquer escalar e qualquer vetor ,
Isso está bem definido porque a multiplicação por escalar é definida em cada , garantindo que o resultado esteja dentro de .

Passo 8

Precisamos também verificar que a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de escalares no campo , ou seja,
Isso se mantém válido, já que para cada componente isso é verdade nos espaços .

Passo 9

Outro ponto é a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que
Isso também se verifica componente a componente, utilizando a distributividade nos .

Passo 10

Finalmente, a distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Isso também funciona componente a componente, já que cada satisfaz essa propriedade.

Resposta

Como verificamos todos os axiomas dos espaços vetoriais para com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, podemos concluir que é realmente um espaço vetorial sobre . Além disso, esse espaço é chamado de soma direta externa dos espaços e é denotado por .

Exercícios relacionados

a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Seja . Verifique se munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre .
Calcule o resultado das operações vetoriais abaixo, sendo e os vetores , e .
Sejam qualquer espaço vetorial sobre e . Mostre que se , então , munido com as operações de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre chama-se complexificação de . Neste caso, .