Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(b) é sobrejetora? Justifique. Caso não seja sobrejetora, determine um elemento em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear juntos! A gente tem uma transformação linear representada pela matriz:
O que estamos perguntando aqui é: é sobrejetora? Isso significa que todo vetor no espaço de chegada () é imagem de algum vetor do espaço de partida. Para descobrir isso, precisamos entender se a imagem de cobre todo o . Vamos precisar usar conceitos de rangos de matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é sobrejetora se e somente se a matriz que a representa, no caso , tiver posto igual a 3 (já que estamos em ). O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes.
Então, vamos calcular o posto da matriz . Para isso, vamos colocar na forma escalonada usando operações elementares.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Primeiro, vamos tentar zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 2 na primeira linha, primeira coluna).
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Vamos fazer essas operações:
[
]
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô, que é na segunda linha, segunda coluna.
Para a terceira linha:
Fazendo isso:
[
]
Passo 5
Agora que temos a matriz na forma escalonada:
Podemos ver que há 3 pivôs (os números 2, , e ), um em cada linha e coluna. Isso significa que o posto da matriz é 3.
Passo 6
Como o posto de é igual a 3, que é a dimensão do espaço de chegada , isso nos diz que a imagem de cobre todo. Portanto, é sobrejetora.
Resposta
Sim, a transformação é sobrejetora porque o posto da matriz é 3, igual à dimensão de . Isso significa que todo vetor em é imagem de algum vetor em através de .