Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada pela matriz A=(ccc2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0).
(b) T é sobrejetora? Justifique. Caso T não seja sobrejetora, determine um elemento em R^3 backslash Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear juntos! A gente tem uma transformação linear A = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0 representada pela matriz:
O que estamos perguntando aqui é: é sobrejetora? Isso significa que todo vetor no espaço de chegada ( ) é imagem de algum vetor do espaço de partida. Para descobrir isso, precisamos entender se a imagem de cobre todo o . Vamos precisar usar conceitos de rangos de matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é sobrejetora se e somente se a matriz que a representa, no caso , tiver posto igual a 3 (já que estamos em ). O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes.
Então, vamos calcular o posto da matriz . Para isso, vamos colocar na forma escalonada usando operações elementares.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0 :
2 & 3 & 1 3 - 32 times 2 & 5 - 32 times 3 & 1 - 32 times 1 -2 + 2 & -4 + 3 & 0 + 1 = 2 & 3 & 1 0 & 52 & -12 0 & -1 & 1
Primeiro, vamos tentar zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 2 na primeira linha, primeira coluna).
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
Vamos fazer essas operações:

[


]

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô, que é 2 & 3 & 1 0 & 52 & -12 0 & -1 + 25 times 52 & 1 + 25 times -12 = 2 & 3 & 1 0 & 52 & -12 0 & 0 & 45 na segunda linha, segunda coluna.
Para a terceira linha:
Fazendo isso:

[


]

Passo 5

Agora que temos a matriz na forma escalonada:
2 & 3 & 1 0 & 52 & -12 0 & 0 & 45
Podemos ver que há 3 pivôs (os números 2, , e ), um em cada linha e coluna. Isso significa que o posto da matriz é 3.

Passo 6

Como o posto de é igual a 3, que é a dimensão do espaço de chegada , isso nos diz que a imagem de cobre todo . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetora porque o posto da matriz é 3, igual à dimensão de . Isso significa que todo vetor em é imagem de algum vetor em através de .

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