C1 - Uma fábrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade. O prédio foi protegido por um pára-raios, mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas. Resultado é que a bolinha que estava na máquina ao cair o raio recebeu uma descarga elétrica e as cargas ficaram armazenadas no interior da bolinha de forma que a densidade de carga rho(r)=rho0 1r^2.
(a) Qual o campo E na superfície da bolinha, que tem raio r=2 cm ? (b) E no interior da bolinha, 1 cm abaixo da superfície? © Qual o campo E a 5 cm da superfície da bolinha ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica de bolinhas de gude que foi atingida por um raio. A bolinha que estava na máquina acabou acumulando carga elétrica de uma maneira que a densidade de carga depende da distância do centro da bolinha, seguindo a fórmula . A bolinha tem um raio total de .
Vamos resolver três partes:
a) Encontrar o campo elétrico na superfície da bolinha ( ).
b) Encontrar o campo elétrico dentro da bolinha, a abaixo da superfície ( ).
c) Encontrar o campo elétrico a da superfície externa da bolinha ( ).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a passagem do campo elétrico oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo E cdot 4pi r^2 = Qdentroepsilon0 :
E = Qdentro4pi epsilon0 r^2
Como nossa bolinha tem simetria esférica, podemos simplificar essa equação. O campo elétrico tem o mesmo valor em toda a superfície esférica e é perpendicular a ela. Então, a integral se simplifica para:
Daqui, podemos isolar :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a carga total Qdentro = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' dentro de uma esfera de raio Qdentro = integral0^r rho0 1r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0 integral0^r dr' = 4pi rho0 r . A densidade de carga é . Para encontrar , integramos a densidade de carga sobre o volume:
Substituindo :
Então, a carga dentro de um raio é proporcional a .

Passo 4

Substituindo E = 4pi rho0 r4pi epsilon0 r^2 = rho0epsilon0 r na expressão do campo elétrico:
Então, o campo elétrico depende inversamente da distância a partir do centro da bolinha.

Passo 5

Agora, vamos resolver cada parte do exercício usando a fórmula E = rho0epsilon0 times 0,02 .
a) Campo na superfície da bolinha ( )
Substituindo:
Então, o campo elétrico na superfície é .

Passo 6

b) Campo dentro da bolinha, a E = rho0epsilon0 times 0,01 abaixo da superfície
A superfície tem , então abaixo significa .
Substituindo na fórmula:
Então, o campo elétrico a abaixo da superfície é .

Passo 7

c) Campo a E = rho0epsilon0 times 0,07 da superfície da bolinha
A superfície está a , então da superfície fica a do centro.
Substituindo na fórmula:
Então, o campo elétrico a da superfície é .

Resposta

a) O campo elétrico na superfície da bolinha é .
b) O campo elétrico a abaixo da superfície é .
c) O campo elétrico a da superfície é .

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