C1 - Uma fábrica de bolinhas de gude foi atingida por um raio durante uma tempestade. O prédio foi protegido por um pára-raios, mas algumas descargas atingiram os equipamentos que fabricavam as bolinhas. Resultado é que a bolinha que estava na máquina ao cair o raio recebeu uma descarga elétrica e as cargas ficaram armazenadas no interior da bolinha de forma que a densidade de carga
.
(a) Qual o campo
na superfície da bolinha, que tem raio
? (b) E no interior da bolinha, 1 cm abaixo da superfície? © Qual o campo
a 5 cm da superfície da bolinha ?
(a) Qual o campo
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica de bolinhas de gude que foi atingida por um raio. A bolinha que estava na máquina acabou acumulando carga elétrica de uma maneira que a densidade de carga depende da distância do centro da bolinha, seguindo a fórmula
. A bolinha tem um raio total de
.
Vamos resolver três partes:
a) Encontrar o campo elétrico na superfície da bolinha ( ).
b) Encontrar o campo elétrico dentro da bolinha, a abaixo da superfície (
).
c) Encontrar o campo elétrico a da superfície externa da bolinha (
).
a) Encontrar o campo elétrico na superfície da bolinha (
b) Encontrar o campo elétrico dentro da bolinha, a
c) Encontrar o campo elétrico a
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a passagem do campo elétrico
por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Como nossa bolinha tem simetria esférica, podemos simplificar essa equação. O campo elétrico
tem o mesmo valor em toda a superfície esférica e é perpendicular a ela. Então, a integral se simplifica para:
Daqui, podemos isolar
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro de uma esfera de raio
. A densidade de carga é
. Para encontrar
, integramos a densidade de carga sobre o volume:
Substituindo
:
Então, a carga dentro de um raio
é proporcional a
.
Passo 4
Substituindo
na expressão do campo elétrico:
Então, o campo elétrico
depende inversamente da distância
a partir do centro da bolinha.
Passo 5
Agora, vamos resolver cada parte do exercício usando a fórmula
.
a) Campo na superfície da bolinha (
)
Substituindo:
Então, o campo elétrico na superfície é
.
Passo 6
b) Campo dentro da bolinha, a
abaixo da superfície
A superfície tem
, então
abaixo significa
.
Substituindo na fórmula:
Então, o campo elétrico a
abaixo da superfície é
.
Passo 7
c) Campo a
da superfície da bolinha
A superfície está a
, então
da superfície fica a
do centro.
Substituindo na fórmula:
Então, o campo elétrico a
da superfície é
.
Resposta
a) O campo elétrico na superfície da bolinha é
.
b) O campo elétrico a
abaixo da superfície é
.
c) O campo elétrico a
da superfície é
.